1、2016-2017学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题（每小题3分，共12个小题）1已知命题 p：xR，x2，那么命题p为（）AxR，x2BxR，x2CxR，x2DxR，x22双曲线的渐近线方程为（）ABCy=3xD3已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AFx轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）ABCD4已知p：x24x50，q：x22x+120，若p是q的充分不必要条件，则正实数的取值范围是（）A（0，1B（0，2）CD（0，25P是双曲线=1（a0，b0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）
2、ABCD6已知命题p1：函数y=2x2x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2x在R上为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2；q3：（p1）p2；q4：p1（p2）；其中为真命题的是（）Aq1和q3Bq2和q3Cq1 和q4Dq2和q47已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）ABC4D8已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，5），点P（x，1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A4B1C10D119过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6
3、，那么|AB|=（）A8B10C6D410在平行六面体ABCDEFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）ABCD11已知双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）AB2CD312在正四棱锥PABCD中，O为正方形ABCD的中心， =（24），且平面ABE与直线PD交于F， =f（），则（）Af（）=Bf（）=Cf（）=Df（）=二填空题（每小题4分，共4个小题）13已知双曲线的一条渐近线方程为x2y=0，则椭圆的离心率e=14已知双曲线的两个焦点F1（，0），F2（，0），P是此双曲线上的
4、一点，且=0，|=2，则该双曲线的方程是15已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（1，t，2），若lm，则实数t的值是16设平面的一个法向量为=（1，2，2），平面的一个法向量为=（2，4，k），若，则k=三解答题（本大题共5小题请将过程详写在答题卡上）17已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（3，0）（1）求椭圆的标准方程（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积18设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：x0R，x02+2mx0+2m=0（）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（）求使“pq”为
5、假命题的实数m的取值范围19设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值20在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE平面BCDE，AB=AE，DB=DE，BAE=BDE=90（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角BAEC的余弦值21已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且，O为坐标原点（）求椭圆的方程
6、；（）判断AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）22曲线（为参数）上一点P到点A（2，0）、B（2，0）距离之和为23在极坐标系中，点（1，0）到直线（cos+sin）=2的距离为解答题（共1小题，满分10分）24己知圆C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为=2cos（）（）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由2016-2017学年陕西省西安市交通大学附中高
7、二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（每小题3分，共12个小题）1已知命题 p：xR，x2，那么命题p为（）AxR，x2BxR，x2CxR，x2DxR，x2【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题 否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题 p：xR，x2，那么命题p为：xR，x2故选：B2双曲线的渐近线方程为（）ABCy=3xD【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的方程可求得其渐近线方程，从而可得答案【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为：y=x，双曲线为的渐近线方程为：y=x=x，故选A3已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且
8、AFx轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】通过焦点F的横坐标，代入椭圆方程，求出A的纵坐标，利用|AF|=焦距，结合椭圆中a，b，c的关系，求出椭圆的离心率【解答】解：设F为椭圆的右焦点，且AFx轴，所以F（c，0），则，解得y=，因为，|AF|=焦距，所以，即b2=2ac，a2c2=2ac，e2+2e1=0，解得e=或e=（舍去）故选C4已知p：x24x50，q：x22x+120，若p是q的充分不必要条件，则正实数的取值范围是（）A（0，1B（0，2）CD（0，2【考点】二次函数的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别解两个不等式可得命
9、题p：x（，1）（5，+），q：x（，1）（1+，+），若p是q的充分不必要条件，则，解得答案【解答】解：解x24x50得：x（，1）（5，+），解：x22x+120，得：x（，1）（1+，+），若p是q的充分不必要条件，则，解得：（0，2，故选：D5P是双曲线=1（a0，b0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设|=m，|=n，由F1PF2的面积是9算出mn=18，结合勾股定理得到m2+n2=（mn）2+36=4c2，再用双曲线定义可得b2=9，从而得到b=3，进而得到a=73=4，利用平方关
10、系算出c=5，最后可得该双曲线离心率的值【解答】解：设|=m，|=n，由题意得=0，且F1PF2的面积是9，mn=9，得mn=18RtPF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2（mn）2=m2+n22mn=4c236，结合双曲线定义，得（mn）2=4a2，4c236=4a2，化简整理得c2a2=9，即b2=9可得b=3，结合a+b=7得a=4，所以c=5该双曲线的离心率为e=故选：B6已知命题p1：函数y=2x2x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2x在R上为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2；q3：（p1）p2；q4：p1（p2）；其中为真命题的是（）Aq1和q3Bq2和q
11、3Cq1 和q4Dq2和q4【考点】复合命题的真假【分析】利用导数知识分别对函数y=2x2x，y=2x+2x，的单调性，从而可判断p1，p2的真假，然后根据复合命题的真假关系即可判断【解答】解：y=2x2x，y=ln2（2x+2x）0恒成立，y=2x2x在R上为增函数，即题p1为真命题y=2x+2x，y=ln2（2x2x），由y0可得x0，即y=2x+2x在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调 递减p2：函数y=2x+2x在R上为减函数为假命题根据复合命题的真假关系可知，q1：p1p2为真命题q2：p1p2为假命题q3：（p1）p2为假命题q4：p1（p2）为真命题故选C7已知抛物线关于x轴
12、对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）ABC4D【考点】抛物线的简单性质【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p0）点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，2+=3p=2抛物线方程为y2=4xM（2，y0）|OM|=故选B8已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，5），点P（x，1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A4B1C10D11【考点】向量在几何中的应用【
13、分析】利用平面向量的共面定理即可得出【解答】解：点P（x，1，3）在平面ABC内，存在实数，使得等式成立，（x4，2，0）=（2，2，2）+（1，6，8），消去，解得x=11故选D9过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A8B10C6D4【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意画出图形，由已知结合抛物线的定义求得|AB|【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得2p=4，p=2，|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=x1+x2+p，x1+x2=6，|AB|=8故选：A10在平行六面体ABCDEFGH中，若=2x
14、+3y+3z，则x+y+z等于（）ABCD【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义【分析】在平行六面体ABCDEFGH中， =+，结合=2x+3y+3z， =，求出x，y，z，即可得出结论【解答】解：在平行六面体ABCDEFGH中， =+，=2x+3y+3z， =，2x=1，3y=1，3z=1，x=，y=，z=，x+y+z=，故选：D11已知双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）AB2CD3【考点】双曲线的简单性质【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定
15、义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，p=2c，即c=2，设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，m=3P点的坐标为（3，）解得：，则渐近线方程为y=x，即有点F到双曲线的渐进线的距离为d=，故选：A12在正四棱锥PABCD中，O为正方形ABCD的中心， =（24），且平面ABE与直线PD交于F， =f（），则（）Af（）=Bf（）=Cf（）=Df（）=【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】在平
16、面ABE延长BE与直线PD交于F，过F作FG垂直于PO交于G，根据相识三角形成比例关系可求解【解答】解：由题意：PABCD是正四棱锥，O为正方形ABCD的中心，则OP平面ABCD， =（24），即E是PO上的点，在平面ABE延长BE与直线PD交于F，过F作FG垂直于PO交于G，可得：故选A二填空题（每小题4分，共4个小题）13已知双曲线的一条渐近线方程为x2y=0，则椭圆的离心率e=【考点】椭圆的简单性质【分析】利用双曲线的一条渐近线方程为x2y=0，得到=，由此能求出在椭圆的离心率【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为x2y=0，=，即b=，在椭圆中，c=，e=故答案为：14已知双曲线的两个焦
17、点F1（，0），F2（，0），P是此双曲线上的一点，且=0，|=2，则该双曲线的方程是y2=1【考点】双曲线的标准方程【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出双曲线的方程【解答】解：由于三角形PF1F2为直角三角形，故PF+PF=4c2=40所以（PF1PF2）2+2PF1PF2=40，由双曲线定义得（2a）2+4=40，即a2=9，故b2=1，所以双曲线方程为y2=1故答案为：y2=115已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（1，t，2），若lm，则实数t的值是1【考点】直线的方向向量【分析】由直线l与直线m垂直，得直线l，m的方向向量数量积为0，由此能求出结果【解答】
18、解：直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（1，t，2），lm，=1+t=0，解得t=1故答案为：116设平面的一个法向量为=（1，2，2），平面的一个法向量为=（2，4，k），若，则k=4【考点】平面的法向量【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，存在实数使得，解得k=4故答案为：4三解答题（本大题共5小题请将过程详写在答题卡上）17已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（3，0）（1）求椭圆的标准方程（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆标准方程为，由题意可得；（2）设P（0，4）为短轴的一个端
19、点，sF1PF2=12【解答】解：（1）设椭圆标准方程为，由题意可得所以a=5，b=4因此椭圆标准方程为（2）设P（0，4）为短轴的一个端点，sF1PF2=12所以18设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：x0R，x02+2mx0+2m=0（）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（）求使“pq”为假命题的实数m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】（）命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，求出（12m）（m+2）0时的解集即可；（）命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2m=0有解，0，求出解集即可；（）“pq”为假命题时，p、q都是假
20、命题，求出m的取值范围即可【解答】解：（）当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，（12m）（m+2）0，解得m2，或m，实数m的取值范围是m|m2，或m； （）当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2m=0有解，=4m24（2m）0，解得m2，或1；实数m的取值范围是|m2，或1；（）当“pq”为假命题时，p，q都是假命题，解得2m；m的取值范围为（2， 19设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的
21、简单性质【分析】（1）由点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，写出向量的坐标，展开数量积后代入根与系数关系得答案；（2）设直线l的方程为，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，写出根与系数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案【解答】（1）证明：由题意可得，联立，得设A（x1，y1），B（x2，y2），则；（2）设直线，与抛物线联立得y22pky+p2=0则20在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE平面BCDE，AB=AE，DB=DE，BAE=BDE=90（1）求异面
22、直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角BAEC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，由已知得AOBE，DOBE，从而AO平面BCDE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DE所成角为60（2）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角BAEC的余弦值【解答】解：（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，AB=AE，BO=OE，AOBE，同理DOBE，又平面ABE平面BCDE，平面ABE平面BCDE=BE，AO平面BCDE，由题意，BE
23、2=2AB2=2DB2，AB=BD=DE=AE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），E（1，1，0），A（，），则=（），=（1，0，0），cos，=，与的夹角为120，异面直线AB与DE所成角为60（2）设平面ACE的法向量=（x，y，z），=（），=（1，1，0），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面ABE的法向量为=（a，b，c），=（），则，取a=1，得=（1，2，），设二面角BAEC的平面角为，cos=|cos|=二面角BAEC的余弦值为21已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1）
24、，B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且，O为坐标原点（）求椭圆的方程；（）判断AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）利用椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，确定椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（）先利用向量知识，可得4x1x2+y1y2=0，再分类讨论，求出面积，即可求得结论【解答】解：（）由题意可知，b2=a2c2=1椭圆的方程为；（）AOB的面积为定值1，a2x1x2+b2y1y2=0，4x1x2+y1y2=0若直线
25、l斜率不存在，设直线l的方程为x=p，则x1=x2=p，y1=y2，4x1x2+y1y2=0，SAOB=1；若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+r，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2krx+r24=0x1+x2=，x1x2=4x1x2+y1y2=0（4+k2）x1x2+kr（x1+x2）+r2=0r24+r2=02r2=4+k2，r22=16（k2r2+4）0设原点O到直线l的距离为d，则SAOB=d|AB|=综上可知，AOB的面积为定值1四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）22曲线（为参数）上一点P到点A（2，0）、B（2，0）距离之和为8【考点】椭圆的参数方程；椭圆的
26、定义【分析】利用消去参数可知，曲线是一人椭圆，A、B恰为焦点，再利用椭圆的定义求解即可【解答】解：曲线表示的椭圆标准方程为，可知点A（2，0）、B（2，0）椭圆的焦点，故|PA|+|PB|=2a=8故答案为：823在极坐标系中，点（1，0）到直线（cos+sin）=2的距离为【考点】点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程【分析】根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果【解答】解：直线（cos+sin）=2直线cos+sin=2直线的一般是方程式是：x+y2=0点（1，0）到直线的距离是故答案为：解答题（共1小题，满分10分）24己知圆
27、C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为=2cos（）（）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由【考点】参数方程化成普通方程【分析】（I）利用sin2+cos2=1即可把圆C1的参数方程，化为直角坐标方程（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1利用点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到此直线的距离d，即可得出弦长|AB|=2【解答】解：（I）由圆C1的参数方程，消去参数可得：x2+y2=1由圆C2的极坐标方程=2cos（），化为，x2+y2=2x+2y即（x1）2+（y1）2=2（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1圆心（0，0）到此直线的距离d=弦长|AB|=2=2017年3月8日
