1、点到直线的距离公式A级基础巩固1.点(1,2)到直线3x-4y-3=0的距离为()A.45B.85C.157D.1110解析:由点到直线的距离公式,得点(1,2)到直线3x-4y-3=0的距离d=|31-42-3|32+(-4)2=85.答案:B2.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到直线l的距离为10 ,则直线l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.x-3y-4=0解析:解方程组7x+5y-24=0,x-y=0,得x=2,y=2,所以交点坐标为(2,2).设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,
2、则d=|5k-1-2k+2|k2+(-1)2=|3k+1|k2+1=10,解得k=3,所以直线l的方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0.答案:C3.若点M(1,3)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则实数m等于()A.34B.43C.-43D.-34解析:由点M(1,3)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,得|m+3-1|m2+1=1,解得m=-34.答案:D4.若点P在x轴上,且点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为(-12,0)或(8,0).解析:设P(a,0).由题意,得|3a-40+6|32+(-4)2=6,解得a=-12或a=8,所以点P的坐标为(
3、-12,0)或(8,0).5.设直线l过点(2,3),且与直线x-2y+1=0平行,若点P(a,2)(a0)到直线l的距离为55,则a=1.解析:设直线l的方程为x-2y+c=0,因为直线l过点(2,3),所以2-6+c=0,解得c=4,所以直线l的方程为x-2y+4=0.因为|a-22+4|12+(-2)2=55,且a0,所以a=1.6.已知ABC三个顶点的坐标分别是A(-1,0),B(1,0),C(0,2).(1)求点A到BC边所在直线的距离d;(2)求证:AB边上任意一点P到直线AC,BC的距离之和等于d.(1)解:因为B(1,0),C(0,2),所以由截距式可得直线BC的方程为x+y2
4、=1,即2x+y-2=0.由点到直线的距离公式,得点A(-1,0)到BC边所在直线的距离d=|-2-2|22+12=455.(2)证明:设P(t,0)为AB边上任意一点,则-1t1.由A(-1,0),C(0,2)可得直线AC的方程是-x+y2=1,即2x-y+2=0,所以点P到直线AC的距离d1=|2t+2|22+(-1)2=255(t+1),点P到直线BC的距离d2=|2t-2|22+12=255(1-t),所以d1+d2=455=d,即AB边上任意一点P到直线AC,BC的距离之和等于d.B级拓展提高7.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A.1条
5、B.2条C.3条D.4条解析:根据题意可知,所求直线斜率存在,可设直线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,所以|k-2+b|k2+(-1)2=1,|3k-1+b|k2+(-1)2=2,解得k=0,b=3,或k=-43,b=53.所以所求直线方程为y=3或4x+3y-5=0,所以符合题意的直线有2条.答案:B8.已知点P为直线x+y-4=0上一动点,则P到坐标原点的距离的最小值为22.解析:根据点到直线的距离公式,得原点O(0,0)到直线x+y-4=0的距离为d=|0+0-4|12+12=22,即直线x+y-4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为22.9.已知a,b,c分别为直角三角形的
6、三边长,c为斜边长,若点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值为4.解析:因为a,b,c分别为直角三角形的三边长,c为斜边长,所以c=a2+b2.又因为点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,所以m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方,所以m2+n2的最小值为原点到直线l的距离d的平方.由点到直线的距离公式可得d=2ca2+b2=2,所以m2+n2的最小值为d2=4.10.如图,在ABC中,A(5,-2),B(7,4),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标;(2)求ABC的面积.解:(1)设点C的坐标为(x,y).根据AC
7、边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,可得x+52=0,y+42=0,解得x=-5,y=-4,所以点C的坐标是(-5,-4).(2)因为A(5,-2),B(7,4),所以|AB|=(7-5)2+4-(-2)2=210,kAB=4-(-2)7-5=3,所以直线AB的方程为y+2=3(x-5),即3x-y-17=0,所以点C到直线AB的距离d=|-15+4-17|32+(-1)2=2810,所以ABC的面积为12|AB|d=122102810=28.11.已知点P(2,-1).(1)求过点P,且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(2)是否存在过点P,且与原点距离为6的直线?若存在
8、,求出方程;若不存在,请说明理由.解:(1)作图可知过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-1kOP=2.由点斜式,得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以直线2x-y-5=0是过点P,且与原点距离最大的直线,最大距离为|OP|=5.(2)由(1)可得过点P的直线与原点的最大距离为5,56,所以不存在过点P,且与原点距离为6的直线.C级挑战创新12.多选题直线l经过点(2,4),且原点到直线l的距离为2,则满足条件的直线l的方程为()A.x=2B.3x-4y-10=0C.3x-4y+10=0D.3x+4y+10=0
9、解析:当直线的斜率不存在时,经过点(2,4)的直线方程为x=2,原点(0,0)到直线x=2的距离为2,满足题意.当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x-2),整理可得kx-y+4-2k=0.由点到直线的距离公式可得d=|0-0+4-2k|k2+(-1)2=|4-2k|k2+1=2,解得k=34,所以直线的方程为34x-y+4-32=0,整理,得3x-4y+10=0.综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y+10=0.答案:AC13.多选题经过点(2,1)的直线l到A(1,1),B(3,5)两点的距离相等,则直线l的方程为()A.2x-y+3=0B.x=2C.2x-y-
10、3=0D.都不对解析:当直线l的斜率不存在时,直线x=2显然满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由点A到直线l的距离等于点B到直线l的距离,得|k-1+1-2k|k2+(-1)2=|3k-5+1-2k|k2+(-1)2,化简,得-k=k-4或k=k-4(无解),解得k=2.所以直线l的方程为2x-y-3=0.综上所述,直线l的方程为x=2或2x-y-3=0.答案:BC14.多空题已知直线l:x-2y+6=0在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为3,则实数m=-6;点(m,3)到直线l的距离为655.解析:令y=0,得x=-6,所以m=-6,所以点(m,3)为(-6,3),所以点(m,3)到直线l的距离为|-6-23+6|12+(-2)2=65=655.
