1、简谐运动的回复力和能量【基础巩固】1.下图为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图像可知( )A.在0.1 s时,因为位移为0,所以振动能量为0B.在0.2 s时,振子具有最大势能C.在0.35 s时,振子具有的能量尚未达到最大值D.在0.4 s时,振动物体的动能最大解析:弹簧振子做简谐运动,振动能量不变,选项A错误;在0.2 s时位移最大,振子具有最大势能,选项B正确;弹簧振子的振动能量不变,在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同,选项C错误;在0.4 s时振动物体的位移最大,动能为0,选项D错误.答案:B2.若物体做简谐运动,则下列说法正确的是 ( )A.若位移为负值,则速度一定为正
2、值,加速度也一定为正值B.物体通过平衡位置时,所受合力为0,回复力为0,处于平衡状态C.物体每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但加速度一定相同D.物体的位移增大时,动能增加,势能减少解析:物体做简谐运动,若位移为负值,则速度不一定为正值,加速度一定为正值,选项A错误.物体通过平衡位置时,回复力为0,所受合力不一定为0,不一定处于平衡状态,选项B错误.物体做简谐运动,通过同一位置时,位移一定,加速度a=-kxm也一定,但速度大小相等,方向可能不同,选项C正确.物体位移增大时,回复力做负功,动能减小,势能增大,选项D错误.答案:C3.如图所示,弹簧上面固定一质量为m的小球,小球在竖直方向上做振
3、幅为A的简谐运动.当小球振动到最高点时,弹簧正好为原长,则小球在振动过程中( )A.小球最大动能应等于mgAB.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变C.弹簧最大弹性势能等于2mgAD.小球在最低点时的弹力大于2mg解析:小球在平衡位置时有kx0=mg,x0=A=mgk,当在平衡位置时,有mgA=12mv2+E弹,选项A错误.机械能守恒,因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变,选项B错误.从最高点到最低点,小球的重力势能全部转化为弹性势能,E弹=2mgA,选项C正确.在最低点加速度大小等于在最高点加速度g的大小,据牛顿第二定律F-mg=mg,F=2mg,选项D错误.答案:C4.如图甲所示,悬挂
4、在竖直方向上的弹簧振子,周期T=2 s,从最低点位置向上运动时开始计时,振动图像如图乙所示,则下列说法正确的是( ) 甲 乙A.t=1.25 s,振动物体的加速度为正,速度也为正B.t=1 s,弹性势能最大,重力势能最小C.t=0.5 s,弹性势能为0,重力势能最小D.t=2 s,弹性势能最大,重力势能最小解析:从题图乙中可知在t=1.25 s时,振动物体在平衡位置上方,向下振动,加速度向下,速度向下,二者都为负,选项A错误;t=1 s时,振动物体在正向最大位移处,即最高点,即弹簧压缩最大,弹性势能和重力势能都最大,选项B错误;t=0.5 s时,振动物体在平衡位置,位移为0,弹性势能为0,但不
5、是最低点,所以重力势能不是最小,选项C错误;t=2 s时,振动物体在最低点,处于负向最大位移处,弹簧拉伸最大,弹性势能最大,选项D正确.答案:D5.(多选)如图所示,水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动,坐标原点O为平衡位置(规定向右为正方向),其振动方程为x=5sin 10t+2(cm).下列说法正确的是( )A.MN间距离为5 cmB.振子的运动周期是0.2 sC.t=0时,振子位于N点D.t=0.05 s时,振子具有最大加速度解析:MN间距离为2A=10 cm,选项A错误;由=10 rad/s可知振子的运动周期是T=2=210 s=0.2 s,选项B正确;由x=5sin 10t+2(c
6、m)可知t=0 时x=5 cm,即振动物体位于N点,选项C正确;由x=5sin 10t+2(cm)可知t=0.05 s时x=0,此时振动物体在O点,加速度为0,选项D错误.答案:BC6.如图所示,竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体,mA=0.1 kg,mB=0.5 kg,系统静止时弹簧的长度变化了 15 cm.若剪断A、B间的细绳,A做简谐运动,g取 10 m/s2,则其最大加速度大小和振幅分别是多少?解析:由两物体静止时的平衡条件得kx=(mA+mB)g,解得k=(mA+mB)gx=40 N/m,剪断A、B间细绳后,A物体在平衡位置时弹簧的伸长量为xA=mAgk=0.025 m,则振幅为A
7、=x-xA=15 cm-2.5 cm=12.5 cm,振动中A物体的最大加速度大小为am=kAmA=400.1250.1 m/s2=50 m/s2.答案:50 m/s212.5 cm7.如图所示,质量为m的木块放在竖直的弹簧上,木块在竖直方向上做简谐运动,当振幅为A时,木块对弹簧的压力最小值为木块自身重力的12,重力加速度为g.求:(1)木块对弹簧压力的最大值;(2)欲使木块在振动中不离开弹簧,其振幅不能超过多少?解析:(1)因为木块在竖直方向上做简谐运动,所以木块在最低点时对弹簧的压力最大,在最高点时对弹簧的压力最小.在最高点根据牛顿第二定律有mg-FN=ma,支持力大小等于压力大小,代入数
8、据解得a=0.5g.由最高点和最低点相对平衡位置对称可知,加速度等大反向,所以最低点的加速度大小为a=0.5g.在最低点根据牛顿第二定律有FN-mg=ma,FN=mg+ma=1.5mg,由牛顿第三定律可知,木块对弹簧压力的最大值为1.5mg.(2)要使木块不脱离弹簧,设其振幅不能超过A,此时木块振动到的最高点恰在弹簧原长处,此时的最大加速度为 g.由a=-kxm知,当振幅为A时,在最低点有0.5g=-kAm;当振幅为A时,在最低点有 g=-kAm,由此可得 A=2A.答案:(1)1.5mg(2)2A【拓展提高】8.如图甲所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,图乙是弹簧振子做简谐运
9、动时的位移时间图像.则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律,下列四个图像中正确的是( ) 甲 乙 A B C D解析:加速度与位移的关系为a=-kxm,而x=Asin t,所以a=-kAmsin t,选项C正确.答案:C9.如图所示,一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧,左端固定,右端与质量为m、电荷量为+q 的小球相连,小球静止在光滑、绝缘的水平面上.在施加一个电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场后,小球开始做简谐运动.那么( )A.小球到达最右端时,弹簧的形变量为2qEkB.小球做简谐运动的振幅为2qEkC.运动过程中小球的机械能守恒D.运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总
10、量不变解析:小球做简谐运动的平衡位置是弹簧拉力和静电力平衡的位置,此时弹簧形变量为qEk,小球到达最右端时,弹簧形变量为2qEk,选项A正确,选项B错误.静电力做功,小球机械能不守恒,选项C错误.运动过程中,小球的动能、电势能和弹簧的弹性势能的总量不变,选项D错误.答案:A10.如图所示,物体放在轻弹簧上,沿竖直方向在A、B之间做简谐运动,物体在A、B之间的D点和C点沿DC方向运动(D、C图上未画出)的过程中,弹簧的弹性势能减少了3.0 J,物体的重力势能增加了1.0 J,则在这段运动过程中( )A.物体经过D点时的运动方向是指向平衡位置的B.物体的动能增加了4.0 JC.D点的位置一定在平衡
11、位置以上D.物体的运动方向可能是向下的解析:物体放在弹簧上做简谐振动,在最高点一定是弹簧处于原长的位置或者原长位置以下.DC时,弹性势能减少3.0 J,而重力势能增加1.0 J,这说明动能增加2.0 J,而且运动方向向上,D点在平衡位置以下,C点比D点靠近平衡位置.选项A正确,选项B、C、D错误.答案:A11.如图所示,一轻弹簧一端固定,另一端连接一物块构成弹簧振子,该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的.物块在光滑水平面上左右振动,振幅为A0,周期为T0.当物块向右通过平衡位置时,a、b之间的胶脱开,以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T,则A (选填“”“”“”或“=”)T0.解析:弹
12、簧振子振动过程中,机械能守恒,振子经过平衡位置时,弹性势能为0,动能最大,从平衡位置运动到最大位移处时,动能转化为弹性势能.本题中,当胶脱开后,物块a与弹簧连接所构成的新的弹簧振子的机械能减小,新振子到达最大位移处时的弹性势能减小,即振子振动的振幅减小;新的弹簧振子的振幅减小,振子从最大位移处加速运动到平衡位置的距离减小,在相同位置的加速度比原振子振动时的大,所以运动时间减小,振子振动的周期减小.答案:【挑战创新】12.如图所示,弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动,质量为m的滑块上面放着质量为m的砝码,砝码随滑块一起做简谐运动.已知弹簧的劲度系数为k,重力加速度为g.(1)使砝码做简谐运
13、动的回复力是什么?它和位移成正比的比例系数是多少?(2)当滑块运动到振幅一半的位置时,砝码所受回复力的大小是多少?(3)当砝码与滑块间的动摩擦因数为时,要使砝码与滑块不发生相对滑动,振幅最大为多少?解析:(1)砝码随着滑块一起振动,砝码所受滑块的静摩擦力是砝码做简谐运动的回复力.由牛顿第二定律有Ff=ma,对滑块与砝码整体有a=F弹m+m=kxm+m,解得Ff=mkm+mx,所以砝码做简谐运动的回复力与位移的比例系数为k=mkm+m.(2)当滑块运动到振幅一半的位置时,砝码也运动到振幅的一半,则砝码的回复力为F=kA2=mkm+mA2=mkA2(m+m),方向指向平衡位置.(3)从F=kx可以看出,当x增大时,F也增大,当F=Ffmax=FN 时,有最大振幅.因为FN=mg,所以mkm+mAm=mg,解得 Am=(m+m)gk.答案:(1)砝码所受滑块的静摩擦力mkm+m(2)mkA2(m+m)(3)(m+m)gk
