1、2016-2017学年福建省龙岩市“上杭、武平、漳平、长汀、永安一中”五校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中）1设集合A=x|2x4，B=2，1，2，4，则AB=（）A1，2B1，4C1，2D2，42“”是“A=30”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也必要条件3复数z=cos（）+isin（+），（0，）的对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A
2、BCD5已知数列an是等比数列前n项和是Sn，若a2=2，a3=4，则S5等于（）A8B8C11D116函数y=f（x）在1，3上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）Af（2）f（）f（5）Bf（）f（2）f（5）Cf（2）f（5）f（）Df（5）f（）f（2）7若实数x，y满足不等式组则2x+4y的最小值是（）A6B6C4D28已知向量与的夹角为60，|=2，|=6，则2在方向上的投影为（）A1B2C3D49如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（）A8cm2B cm2C12 cm2
3、D cm210已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=f（x），当2x0时，f（x）=2x；若nN*，an=f（n），则a2017等于（）A2017B8CD11已知函数f（x）=3cos（2x），则下列结论正确的是（）A导函数为B函数f（x）的图象关于直线对称C函数f（x）在区间（，）上是增函数D函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到12已知函数f（x）=xexmx+m，若f（x）0的解集为（a，b），其中b0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中）1
4、3在矩形ABCD中，=（1，3），则实数k=14递增数列an满足2an=an1+an+1，（nN*，n1），其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=15已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是16在ABC中，点D在边AB上，CDBC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程）17（12分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx（1）求函数f（x）的递增区间；（2）当x0，时，求f（x）的值域18（12分）已知Sn为等差数列an的前n项和，且a4=7，S4=16
5、（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn19（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinAsinC（cosB+sinB）=0（1）求角C的大小； （2）若c=2，且ABC的面积为，求a，b的值20（12分）已知数列an的首项a1=2，且满足an+1=2an+32n+1，（nN*）（1）设bn=，证明数列bn是等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn21（12分）己知函数f（x）=lnxax+1（a0）（1）试探究函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1x2）两点，AB中点为C（x0，0），
6、设函数f（x）的导函数为f（x），求证：f（x0）0请考生从第22、23题中任选一题作答，多答按所答的第一题进行评分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知直线l1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C1：22cos4sin+6=0（1）求圆C1的直角坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求C1MN的面积选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+2|2|x1|（1）解不等式f（x）2；（2）对任意xa，+），都有f（x）xa成立，求实数a的取值范围2016-2017学年福建省龙岩市“上杭、武平、漳平、长汀、永安一中”
7、五校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中）1（2016秋漳平市期中）设集合A=x|2x4，B=2，1，2，4，则AB=（）A1，2B1，4C1，2D2，4【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】直接利用交集的定义求解即可【解答】解：集合A=x|2x4，B=2，1，2，4，则AB=1，2故选：A【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题2（2004浙江）“”是“A=30”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分
8、条件与充要条件的判断【分析】由正弦函数的周期性，满足的A有无数多个【解答】解：“A=30”“”，反之不成立故选B【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题3（2016秋漳平市期中）复数z=cos（）+isin（+），（0，）的对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】计算题；数系的扩充和复数【分析】利用诱导公式化简，求出复数z对应点的坐标即可得到结果【解答】解：复数z=cos（）+isin（+）=cosisin，复数z=cos（）+isin（+），（0，）的对应点（cos，sin）在第三象限故选：C【点评】本题考查诱导公式以
9、及复数的几何意义，是基础题4（2016秋漳平市期中）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质【分析】由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后通过选项，判断函数的一个对称中心即可【解答】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin2（x）=sin（2x）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2）=0；（，0）就是函数的一个对称中心坐标故选：D【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算
10、能力，逻辑推理能力，常考题型5（2016秋漳平市期中）已知数列an是等比数列前n项和是Sn，若a2=2，a3=4，则S5等于（）A8B8C11D11【考点】等比数列的前n项和【专题】计算题；定义法；等差数列与等比数列【分析】首先根据a2=2，a3=4求出等比数列的公比q，然后利用等比数列的前n项的求和公式，进而求得结果【解答】解：设an是等比数列的公比为q，因为a2=2，a3=4，所以q=2，所以a1=1，根据S5=11故选：D【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题6（2016秋漳平市期中）函数y=f（x）在1，3上单调递减，且函数f（x+3）是偶函
11、数，则下列结论成立的是（）Af（2）f（）f（5）Bf（）f（2）f（5）Cf（2）f（5）f（）Df（5）f（）f（2）【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数f（x+3）是偶函数，即函数图象关于直线x=3对称，将三个自变量转化到同一单调区间上，进而可得答案【解答】解：函数y=f（x）在1，3上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，f（）=f（6），f（5）=f（1），f（6）f（2）f（1），f（）f（2）f（5）故选：B【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档
12、7（2016秋漳平市期中）若实数x，y满足不等式组则2x+4y的最小值是（）A6B6C4D2【考点】简单线性规划【专题】数形结合；转化法；不等式【分析】利用线性规划的知识，根据目标函数的几何意义，结合数形结合即可求出2x+4y的最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+4y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点C时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（3，3），此时z=2x+4y=23+4（3）=612=6故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键8（2016秋漳平市期中）已知向量与的夹角为60，
13、|=2，|=6，则2在方向上的投影为（）A1B2C3D4【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可【解答】解：向量与的夹角为60，|=2，|=6，（2）=2=22262cos60=2，2在方向上的投影为=故选：A【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目9（2016秋漳平市期中）如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（）A8cm2B cm2C12 cm2D cm2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；
14、由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】根据已知中的三视图判断几何体的形状，则棱长，侧高等几何量，代入公式，可得答案【解答】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，侧高和底面的棱长均为2，故此几何体的表面积S=22+422=12cm2，故选：C【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键10（2016秋漳平市期中）已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=f（x），当2x0时，f（x）=2x；若nN*，an=f（n），则a2017等于（）A2017B8CD【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数
15、思想；演绎法；函数的性质及应用【分析】根据条件确定函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论【解答】解：f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），即f（x+4）=f（x），即函数的周期是4a2017=f（2017）=f（5044+1）=f（1），f（x）为偶函数，当2x0时，f（x）=2x，f（1）=f（1）=，a2017=f（1）=，故选：D【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键11（2016秋漳平市期中）已知函数f（x）=3cos（2x），则下列结论正确的是（）A导函数为B函数f（x）的图象关于直线对称C函数f（x）在区
16、间（，）上是增函数D函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到【考点】余弦函数的图象【专题】函数思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】根据余弦函数的图象与性质，对题目中的选项进行分析、判断正误即可【解答】解：对于A，函数f（x）=3sin（2x）2=6sin（2x），A错误；对于B，当x=时，f（）=3cos（2）=3取得最小值，所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；对于C，当x（，）时，2x（，），函数f（x）=3cos（2x）不是单调函数，C错误；对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y=3co s2（x）=3co s（2x
17、）的图象，这不是函数f（x）的图象，D错误故选：B【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目12（2016秋漳平市期中）已知函数f（x）=xexmx+m，若f（x）0的解集为（a，b），其中b0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】设g（x）=xex，y=axa，求出g（x）的最小值，结合函数的图象求出m的范围即可【解答】解：设g（x）=xex，y=mxm，由题设原不等式有唯一整数解，即g（x）=xex在直线y=mxm下方，g（x）=（x+1）ex
18、，g（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，故g（x）min=g（1）=，y=mxm恒过定点P（1，0），结合函数图象得KPAmKPB，即m，故选：C【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中）13（2015东城区一模）在矩形ABCD中，=（1，3），则实数k=4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】根据题意，画出图形，利用=0，列出方程，求出k的值【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，=（1，3），=（k1，2+3）=（k1，1），=1（k1）+（3）1=0，
19、解得k=4故答案为：4【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目14（2016秋漳平市期中）递增数列an满足2an=an1+an+1，（nN*，n1），其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=35【考点】数列的求和【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】由2an=an1+an+1，（nN*，n1），知列an为等差数列，依题意可求得其首项与公差，继而可求其前10项和S10【解答】解：2an=an1+an+1，（nN*，n1），数列an为等差数列，又a2+a8=6，2a5=6，解得：a5=3，又a4a6=（a5d）（a5+d）=9d2=8
20、，d2=1，解得：d=1或d=1（舍去）an=a5+（n5）1=3+（n5）=n2a1=1，S10=10a1+=35故答案为：35【点评】本题考查数列的求和，判断出数列an为等差数列，并求得an=2n1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题15（2016秋漳平市期中）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：令y=k，由图象可以读出：0k1时，y=k和f
21、（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题16（2016蚌埠三模）在ABC中，点D在边AB上，CDBC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为5【考点】三角形中的几何计算【专题】综合题；数形结合；解三角形【分析】根据题意画出图象，延长BC、过A做AEBC、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AEBC，垂足为E，CDBC，CDAE，CD=5，BD=2AD，解得AE=，在RTACE，CE=，由得BC=2CE=5
22、，在RTBCD中，BD=10，则AD=5，故答案为：5【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程）17（12分）（2016秋漳平市期中）函数f（x）=sin2x+sinxcosx（1）求函数f（x）的递增区间；（2）当x0，时，求f（x）的值域【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的求值【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简，然后通过正弦函数的单调增区间求解即可（2）求出相位的范围，利用正弦函数的有界性，求解函数的值域即可【解答】解：（1）（2分
23、）令解得f（x）的递增区间为（6分）（2），（8分），（10分）f（x）的值域是（12分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力18（12分）（2016秋漳平市期中）已知Sn为等差数列an的前n项和，且a4=7，S4=16（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）设等差数列an的公差为d，依题意，列出关于首项与公差的方程组，解之即可求数列an的通项公式；（2）利用裂项法可得bn=，从而可求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）
24、设等差数列an的公差为d，依题意得（2分）解得：a1=1，d=2an=2n1（2）由得（7分）（11分）（12分）【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题19（12分）（2016秋漳平市期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinAsinC（cosB+sinB）=0（1）求角C的大小； （2）若c=2，且ABC的面积为，求a，b的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】（1）由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanC=，即可得解C的值（2）利用三角形面积公式可
25、求ab=4，利用余弦定理可得a2+b2=8，联立即可解得a，b的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意得，sinA=sin（B+C），sinBcosC+sinCcosBsinCcosBsinBsinC=0，（2分）即sinB（cosCsinC）=0，sinB0，tanC=，故C=（6分）（2）ab=，ab=4，又c=2，（8分）a2+b22ab=4，a2+b2=8由，解得a=2，b=2（12分）【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题20（12分）（2016秋漳平市期中）已知数列an的首项
26、a1=2，且满足an+1=2an+32n+1，（nN*）（1）设bn=，证明数列bn是等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差关系的确定【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明即可；（2）利用（1）中求得的数据可以推知Sn、2Sn利用错位相减法来求Sn【解答】解：（1）=，数列bn是以为首项，3为公差的等差数列（2）由（1）可知，得：，【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键21（12分）（2014赫山区校级一模）己知函数f（x）=lnxax+1（a0）（1）试探究函数
27、f（x）的零点个数；（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f（x），求证：f（x0）0【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数零点的判定定理【专题】导数的综合应用【分析】（1）中，通过对f（x）求导，研究f（x）的单调性及最值，从而利用数形结合的方法判断零点的个数；（2）将A、B两点代入到f（x）中，即，解出，然后写出f（x0）的表达式，即用x1，x2 表示f（x0），f（x0）=，再令，研究的性质，从而证明f（x0）的正负【解答】解：（1），令f（x）0，则；令f（x）0，则f（x）在x=a时取得
28、最大值，即当，即0a1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）；当x+时，f（x）f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）即f（x）有2个零点；当，即a=1时，f（x）有1个零点；当，即a1时f（x）没有零点；（2）由得（0x1x2），=，令，设，t（0，1）且h（1）=0则，又t（0，1），h（t）0，h（t）h（1）=0即，又，f（x0）=0【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0a1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令的化简
29、和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求请考生从第22、23题中任选一题作答，多答按所答的第一题进行评分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）（2016秋漳平市期中）已知直线l1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C1：22cos4sin+6=0（1）求圆C1的直角坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求C1MN的面积【考点】参数方程化成普通方程【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程【分析】（1），将其代入C1得圆C1的直角坐标方程由直线l1：（t为参数），消去参数可得y=x，可即
30、可化为极坐标方程（2）把代入可得，进而得出面积【解答】解：（1），将其代入C1得：，圆C1的直角坐标方程为：由直线l1：（t为参数），消去参数可得：y=x，可得（R）直线l1的极坐标方程为：（R）（2），可得，【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23（2016湖南四模）已知函数f（x）=|x+2|2|x1|（1）解不等式f（x）2；（2）对任意xa，+），都有f（x）xa成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线
31、与圆【分析】（1）通过对x2，2x1与x1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意xa，+），都有f（x）xa成立，分a2与a2讨论，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=|x+2|2|x1|2，当x2时，x42，即x2，x；当2x1时，3x2，即x，x1；当x1时，x+42，即x6，1x6；综上，不等式f（x）2的解集为：x|x6 （2），函数f（x）的图象如图所示：令y=xa，a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，a=2；当a2，即a2时成立；（8分）当a2，即a2时，令x+4=xa，得x=2+，a2+，即a4时成立，综上a2或a4（10分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题
