1、（新高考）2021届高三数学下学期3月教学质量测评试题 文（含解析）一.选择题（共12小题）.1设集合A（x，y）|y2x3，B（x，y）|4x2y+50，则AB（）AB（，）C（，）D（，）2若在复平面内，复数所对应的点为（3，4），则z的共轭复数为（）A18iB18+iC18iD18+i3根据国家统计局数据显示，我国20102019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是（）A20102019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数D2019年我国研究生在校总人数不超过28
2、5万4若alog2021，b（）2021，c2021，则（）AabcBbacCcbaDbca5小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物人手，抽象出数学图形，在学生正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辨认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个21的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这21方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过的概率为（）ABCD6运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于50的S的值，则判断框中可以填（）Ab13？Bb21？Cb33？Db34？7已知（0，2），|2，若4，则sinBAC（）ABC
3、D8若sin170+tan10，则实数的值为（）ABCD9已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|F1F2|216|MA|MB|，则双曲线C的离心率为（）ABCD10已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1032，S555，则（）Aan4n8Ban2n+12CSnn2+nDSnn2+n11已知函数f（x）sin（x+）（0）在0，2上有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（）A，+）B（，+）C，）D（，）12已知ABC中，AB2BC4，AC2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存
4、在一点N，满足CN平面ABM；若NB恒成立，则实数的最大值为（）A1BC2D二、填空题（共4小题）.13若实数x、y满足则z2x+y的最大值为 14已知定义域为R的函数f（x）满足2f（x）3f（x）4ex，则曲线yf（x）在（0，f（0）处的切线方程为 15已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为27，点EF分别是线段BC，CC1的中点，点G在四边形BCC1B1内运动（含边界），若直线A1G与平面AEF无交点，则线段CG的取值范围为 16已知点M在抛物线C：y24x上运动，圆C过点（5，0），（2，），（3，2），过点M引直线l1，l2与圆C相切，切点分别为P，Q，则|PQ|的取值范围为
5、三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知等比数列an）的前n项和为Sn，且a3，S3（1）求数列an的通项公式；（2）若an0，求数列的前n项和Tn18已知三棱柱ABCA1B1C1如图所示，其中平面ABC平面ACA1，直线AA1与平面ABC所成角为30，AA1CACB90，AC2BC，点M在线段A1B1上（1）求证：AA1A1B；（2）若BC2，三棱锥A1BCM的体积为6，求的值19在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最
6、终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费停车费保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员作出相关调查，其中表（）为车主张先生买车以后每年的相关花费，表（）为对2016年A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，对他们5年以来的新车花费的统计第x年12345花费y（万元）0.40.711.41.5表（）5年花费（万元）3，5）5，7）7，9）9，11）11，13）13，15人数60100120406020表（）（1）通过散点图可知，表（）中的数据可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程x+；（2）根据
7、表（）中的数据，求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的新车花费用区间的中点值替代）；参考公式：回归直线方程x+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，20已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，且过点（，），点M在圆O：x2+y25上（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是圆O上异于M的两点，且直线MA、MB与椭圆C相切，求证：A，B关于原点O对称21已知函数f（x）3（x1）ex+x3（1）求函数f（x）在0，2上的最值；（2）求证：当k0时，关于x的方程f（x）+3kx2仅有1个实数解选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分。选修
8、4-4：坐标系与参数方程22已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为216cos+320（1）求曲线C的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；（2）已知过原点的直线l与曲线C仅有1个交点M，若l与曲线C也仅有1个交点N，求点M的极坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|ax3|+a|x2|的图象关于原点对称（1）求不等式f（x）x+2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）mx2+恒成立，求实数m的取值范围参考答案一.选择题（共12小题）.1设集合A（x，y）|y2x3，B（x，y）|4x2y+50，则
9、AB（）AB（，）C（，）D（，）解：集合A（x，y）|y2x3，B（x，y）|4x2y+50，联立方程组，方程组无解，故AB故选：A2若在复平面内，复数所对应的点为（3，4），则z的共轭复数为（）A18iB18+iC18iD18+i解：复数所对应的点为（3，4），则34i，则z（34i）（2+3i）612i2+9i8i18+i，则z的共轭复数为18i，故选：C3根据国家统计局数据显示，我国20102019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是（）A20102019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C2017年我国
10、研究生在校女生人数少于男生人数D2019年我国研究生在校总人数不超过285万解：对于A，通过统计图可以得到女生人数从2010年的73.6万人增长到了2019年的144.8万人，每年都在逐渐增加，故选项A正确；对于B，根据统计图中增长的趋势，预测2020年人数比2019年多，也就是说会高于144，8万人，故不低于144万人，故选项B正确；由统计图可知，2017年女生所占比例为48.4%，小于50%，即女生的人数少于男生的人数，故选项C正确；对于D，2019年女生总数为144.8万人，占比例为50.6%，故总人数为286.2万人，超过285万人，故选项D错误故选：D4若alog2021，b（）20
11、21，c2021，则（）AabcBbacCcbaDbca解：因为alog0，b（）2021（0，1），c2021202101，所以a，b，c的大小关系为：cba，故选：A5小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物人手，抽象出数学图形，在学生正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辨认所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个21的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这21方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过的概率为（）ABCD解：作出图形如图所示，因为小正方形的边长为1，则AEBFECBD，6个顶点中任取2个顶点的取法为
12、：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种，其中AB，BC，CD，DE，EF，AF，BE的长度为1，AE，BF，EC，BD的长度为，所以线段长度不超过的取法共有7+411种，所以所求的概率为故选：B6运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于50的S的值，则判断框中可以填（）Ab13？Bb21？Cb33？Db34？解：模拟程序的运行，可得：a1，b1，i3，S2，c2，S4，a1，b2满足循环的条件，i4，c3，S7，a2，b3满足循环的条件，i5，c5，S12，a3，b5满足循环的条件，i6，c8，S20，a5，b8满足循环的条件，i
13、7，c13，S33，a8，b13满足循环的条件，i8，c21，S54，a13，b21由题意，此时应该不满足循环的条件，退出循环输出S的值为54，可得判断框内的条件为b21？故选：B7已知（0，2），|2，若4，则sinBAC（）ABCD解：设A（0，0），C（m，n），（0，2），|2，4，可得2，2（n2）4，解得n4，所以m2，2cosBAC（0，2）（2，4）8，所以cosBAC，sinBAC故选：D8若sin170+tan10，则实数的值为（）ABCD解：sin170+tan10，sin10+，sin10cos10cos10sin10（cos10sin10）sin（3010）sin20
14、，sin20sin20，故选：D9已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|F1F2|216|MA|MB|，则双曲线C的离心率为（）ABCD解：设M（m，n），则1，即b2m2a2n2a2b2，故|MA|MB|，|F1F2|216|MA|MB|，|MA|MB|，c44a2b2，即c44a2（c2a2），c44a2c2+4a40，即e44e2+40，e22，e，故选：B10已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1032，S555，则（）Aan4n8Ban2n+12CSnn2+nDSnn2+n解：设等差数列an的公差为
15、d，因为等差数列an中，a1032，S555，解得d3，a15，则an5+3（n1）3n+2，Sn5n+故选：C11已知函数f（x）sin（x+）（0）在0，2上有且仅有6个零点，则实数的取值范围为（）A，+）B（，+）C，）D（，）解：根据函数的图像，函数f（x）sin（x+），当x0，2时，x+，由于函数f（x）在0，2上有且仅有6个零点，所以，整理得故选：C12已知ABC中，AB2BC4，AC2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN平面ABM；若NB恒成立，则实数的最大值为（）A1BC2D解：因为AB2BC4，AC2，且点M在线段AB上
16、除A、C的位置运动，要使AB上存在一点N，满足CN平面ABM，使NB恒成立，则当M恰好为C点时，为临界条件（M不可为C点，但可用来计算），即CNAB，且NB，因为AB4，可得CN242，CN2（2）2（4）2，所以4212（4）2，解得1，所以的最大值为1故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若实数x、y满足则z2x+y的最大值为5解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z2x+y，得y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5故答案为：514已知定义域为R的函数f（x）满足2f（x）3f（x）4ex，则曲线yf（x）
17、在（0，f（0）处的切线方程为yx+4解：由2f（x）3f（x）4ex，可将其中的x换为x，可得2f（x）3f（x）4ex，由可得，f（x）ex+ex，则f（x）ex+ex，可得曲线yf（x）在（0，f（0）处的切线斜率为kf（0）+，又f（0）4，则切线的方程为yx+4故答案为：yx+415已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为27，点EF分别是线段BC，CC1的中点，点G在四边形BCC1B1内运动（含边界），若直线A1G与平面AEF无交点，则线段CG的取值范围为解：正方体ABCDA1B1C1D1的体积为27，所以正方体的棱长为3，分别取线段B1C1，B1B的中点P，Q，连结A1P，A1
18、Q，PQ，则有PQEF，又PQ平面AEF，EF平面AEF，所以PQ平面AEF，A1PAE，又A1P平面AEF，AE平面AEF，所以A1P平面AEF，又PQA1PP，PQ，A1P平面A1PQ，所以平面A1PQ平面AEF，故点G在线段PQ上运动（含端点位置），当G与Q重合时，CG最大，此时CGCQ，当CGPQ时，CG最小，此时，所以CG的取值范围为故答案为：16已知点M在抛物线C：y24x上运动，圆C过点（5，0），（2，），（3，2），过点M引直线l1，l2与圆C相切，切点分别为P，Q，则|PQ|的取值范围为2，4）解：设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F0，由题意可得，解得：，所以圆的方
19、程：x2+y26x+50，即（x3）2+y24，易知PCPM，CQMQ，MCPQ，PC|2所以S四边形PCQM2SPCM2|PC|PM|CM|PQ|，所以|PQ|4，|CM|的最小值时|PQ|最小，设M（x，y），则|CM|，当x1时，|CM|2，当x+时|PQ|趋近圆的直径，所以|PQ|2，4）故答案为：2，4）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知等比数列an）的前n项和为Sn，且a3，S3（1）求数列an的通项公式；（2）若an0，求数列的前n项
20、和Tn解：（1）由题意可得，解得或，故通项公式为an（）n1，或an（）n1；（2）由an0，则an（）n1，n2n1，Tn120+221+322+n2n1，2Tn121+222+323+n2n，Tn1+21+22+2n1n2nn2n（1n）2n1，Tn（n1）2n+118已知三棱柱ABCA1B1C1如图所示，其中平面ABC平面ACA1，直线AA1与平面ABC所成角为30，AA1CACB90，AC2BC，点M在线段A1B1上（1）求证：AA1A1B；（2）若BC2，三棱锥A1BCM的体积为6，求的值【解答】（1）证明：平面ABC平面ACA1，平面ABC平面ACA1AC，BCAC，BC平面ABC
21、，BC平面CA1，而A1C平面AA1C1C，BCA1C，得A1CB90，设BCx，则AC2x，又AA1C90，A1AC30，A1Cx，AB，而，AA1A1B；（2）解：过M作MNA1B交A1B于N，若BC2，由（1）得，AA1BB16，MN，即，解得MN3，又AA1BA1BB190，则A1MMB1，得119在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费停车费保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员作出相关调查，其中表（）为车主张先生买车以后每年的相关
22、花费，表（）为对2016年A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，对他们5年以来的新车花费的统计第x年12345花费y（万元）0.40.711.41.5表（）5年花费（万元）3，5）5，7）7，9）9，11）11，13）13，15人数60100120406020表（）（1）通过散点图可知，表（）中的数据可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程x+；（2）根据表（）中的数据，求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的新车花费用区间的中点值替代）；参考公式：回归直线方程x+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，解：（1）由题意可得，1，所以，故，则10.2930
23、.13，故y关于x的线性回归方程为y0.29x+0.13；（2）由题意，新车花费：5年花费（万元）3，5）5，7）7，9）9，11）11，13）13，15人数 60100 12040 6020 频率0.15 0.250.3 0.10.150.05所以40.15+60.25+80.3+100.1+120.15+140.058，方差s20.15（4）2+0.25（2）2+0.122+0.1542+0.0562820已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，且过点（，），点M在圆O：x2+y25上（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是圆O上异于M的两点，且直线MA、MB与椭圆C相切，求证：A，B关于原点
24、O对称解：（1）由题可得，解得a24，b21，所以椭圆的方程为+y21（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），点M（x0，y0）在圆x2+y25上运动，当过点M且与椭圆C相切的直线斜率存在时，设切线的方程为yk（xx0）+y0，由，得（1+4k2）x2+8k（y0kx0）x+4（y0kx0）240，则64k2（y0kx0）24（1+4k2）4（y0kx0）240，整理得（4x02）k2+2x0y0k+1y020，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1k2，故k1k21，即直线AB为圆x2+y25的直径，故此时A，B关于原点O对称，当直线MA的斜率不存在时，直线MN的方程为x2或x2
25、，当直线MA的方程为x2时，不妨设M（2，1），则A（2，1），B（2，1），此时A，B关于原点O对称，当直线MA的方程为x2时，不妨设M（2，1），则A（2，1），B（2，1），此时A，B关于原点O对称，同理可得，当直线MB的斜率不存在时，A，B关于原点O对称，综上所述，A，B关于原点O对称21已知函数f（x）3（x1）ex+x3（1）求函数f（x）在0，2上的最值；（2）求证：当k0时，关于x的方程f（x）+3kx2仅有1个实数解解：（1）f（x）3xex+3x23x（ex+x），令u（x）ex+x，u（x）ex+10，函数u（x）在0，2上单调递增，u（x）u（0）10，f（x）0，即函
26、数f（x）在0，2上单调递增，函数f（x）在0，2上的最大值与最小值分别为：f（2）3e3+8，f（0）3（2）证明：f（x）+3kx2即3（x1）ex+x3+3kx2，则（x1）ex+x3+kx20，令g（x）（x1）ex+x3+kx2，则g（x）xex+x22kxx（ex+x2k）当k时，g（x）x（ex+x1）0，故函数g（x）在R上单调递增g（0）1+0，g（1）0，故k时，f（x）恰有1个零点当k时，令h（x）ex+x2k，则h（x）在R上单调递增，又h（0）12k0，h（k）ekkkk0，存在唯一实数x1（0，k），使得h（x1）0，即g（x1）0，故g（x）在（，0）上单调递增，
27、在（0，x1）上单调递减，在（x1，+）上单调递增，g（x1）g（0）0，g（3k）（3k1）e3k+（3k）3k（3k）2+（3k1）e3k+0，故当k时，g（x）恰有1个零点当0k时，h（x）ex+x2k，h（x）在R上单调递增，又h（0）12k0，h（1）12k0，存在唯一实数x2（1，0），使得h（x2）0，即g（x2）0，g（x）在（，x2）上单调递增，在（x2，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，g（0）0，g（1）k+0，故当x（0，+）时，函数g（x）只有1个零点当x（，0）时，g（x）maxg（x2）（x21）+k+，由g（x2）0，解得k，g（x2）（x21）+（2x2
28、+2）+1，令t（x）（x22x+2）ex+x31，x（1，0），t（x）x2（ex+1）0，因此t（x）在x（1，0）上单调递增，t（x）t（1）0，g（x2）0，当x（，0）时，函数g（x）无零点因此当0k时，函数f（x）只有一个零点当k0时，关于x的方程f（x）+3kx2仅有1个实数解选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为216cos+320（1）求曲线C的普通方程以及曲线C的直
29、角坐标方程；（2）已知过原点的直线l与曲线C仅有1个交点M，若l与曲线C也仅有1个交点N，求点M的极坐标解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为yx22（x2或x2）；曲线C的极坐标方程为216cos+320，根据，转换为直角坐标方程为（x8）2+y232；（2）设直线l的方程为ykx，所以，整理得（1+k2）x216x+320，利用0，解得k1或1，故直线的方程为yx或yx；直线lyx和yx与yx22（x2或x2）；构建方程组：或，得到M（2，2）或M（2，2）转换为极坐标为或选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|ax3|+a|x2|的图象关于原点对称（1）求不等式f
30、（x）x+2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）mx2+恒成立，求实数m的取值范围解：（1）函数f（x）|ax3|+a|x2|的图象关于原点对称，可得f（x）为R上的奇函数，即有f（0）0，即3+2a0，解得a，不等式（|x+2|x2|）x+2，等价为或或，解得x8或1x2或2x4，则原不等式的解集为（，8）（1，4）；（2）若关于x的不等式f（x）mx2+恒成立，可得（|x+2|x2|）mx2+恒成立，当x2时，6mx2+，即m，由x24，0，可得m；当x2时，6mx2+，即m恒成立，由x24，0，可得m；由可得m又2x2时，3xmx2+恒成立，当2x0时，原不等式显然成立；当0x2时，m恒成立，由y（1）2+1，当x时，y取得最大值1，所以m1，综上可得，m的取值范围是1，+）
