1、第2课时函数的奇偶性(2)课程目标 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式；2.能利用函数的奇偶性与单调性分析，解决较简单的问题知识点函数奇偶性的性质 填一填(1)奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)在公共定义域上奇函数yf(x)与奇函数yg(x)，则yf(x)g(x)为奇函数，可简记为奇奇奇，类比上述结论，则有：奇奇奇；偶偶偶，偶偶偶；奇奇偶；奇偶奇；偶偶偶答一答函数yf(x)在x0处有定义，且f(0)0，则f(x)一定是奇函数吗？提示：不一定，如f(x)x2，满足f(0)0，但它是偶函数.类型一利用奇偶性求函数值 例1设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22xm
2、(m为常数)，则f(3)_.解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，即m0，所以f(x)x22x，故f(3)322315，又f(x)为奇函数，所以f(3)f(3)15.答案15本题中当x0时，函数解析式含参数m，因此需利用奇函数在原点处有定义，则f(0)0的性质，求出m的值，然后根据奇函数性质求f(3)的值.变式训练1已知函数f(x)是奇函数，则实数a的值为2.解析：因为f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，所在f(0)0，所以a2，此时，f(x)是奇函数，符合题意，故答案为2.类型二 利用奇偶性求函数f(x)的解析式 例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)
3、x22x3，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)3x22x3.又因为f(x)为奇函数，f(x)f(x)，所以f(x)x22x3，所以f(x)x22x3(x0，则x0)，故f(x)的解析式为f(x)利用函数奇偶性求解析式时的注意事项(1)求哪个区间上的解析式，就在哪个区间上取x；(2)然后要利用已知区间的解析式写出f(x)；(3)利用f(x)的奇偶性把f(x)写成f(x)或f(x)，从而解出f(x)；,(4)要注意R上的奇函数定有f(0)0.,若是求整个定义域内的解析式，各区间内解析
4、式不一样时其结果一般为分段函数的形式，此点易忽略.变式训练2(1)已知函数f(x)是奇函数，且x0时，f(x)xb，若f(3)5，则x0时，f(x)xb，所以3b5，所以b8.所以x0时，f(x)x8.设x0，即f(x)x8.又f(x)是奇函数，所以f(x)x8，即f(x)x8.(2)已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数，当x(，0)时，f(x)xx2，则当x(0，)时，f(x)xx2.解析：设x0，则x0，所以f(x)(x)(x)2xx2，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，故f(x)xx2.类型三函数的奇偶性与单调性的综合 例3已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且
5、f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解关于实数t的不等式f(t1)f(t)0.解(1)函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，所以f(0)0，得到b0.由于f，所以，解得a1.所以f(x).(2)证明：设1x1x21，则f(x2)f(x1).由于1x1x20，x1x20.所以0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(1,1)上是增函数(3)由于函数是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(t1)f(t)0，所以f(t1)f(t)f(t)则解得0t.所以不等式的解集为.变式训练3(1)定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得(C)AabC|a|b| D0ab0解析：因为f(x)f(|x|)，所以由f(a)f(b)得f(|a|)f(|b|)，又f(x)在0，)上是增函数，所以|a|0的x的取值范围是(D)A(，3)B(2,2)C(3,3)D(，3)(3，)3已知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)等于(A)Ax(x1) Bx(x1)Cx(x1) Dx(x1)4已知f(x)为奇函数，则g(x)等于(D)A2x3x2 B2x3x2C2x3x2 D2x3x2
