1、安徽省和县第二中学2021届高三数学上学期模拟考试试题（二）本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷选择题(共45分)参考公式：球的体积公式V球R3，其中R表示球的半径锥体的体积公式V锥体Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A，B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B) 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1复数z(i是虚数单位)在复平面内对应点的坐标为()A(1，0) B(0，1) C. D.2某中学高一、高二、高三年级
2、的学生人数之比依次为657，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于()A35 B45 C54 D633方程x2y2kx2yk220表示圆的一个充分不必要条件是()Ak(，2)(2，) Bk(2，)Ck(2，2) Dk(0，14设a2ln2，blog4，clog32，则a，b，c的大小关系是()Abac Babc Cbca Dacb5如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为，点E为棱AB的中点，则三棱锥D1ACE的体积是() A. B2C. D16已知双曲
3、线C：1(a0，b0)的离心率为，以双曲线C的右焦点F为圆心，a为半径作圆F，圆F与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则MFN()A45 B60 C90 D1207某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌(如图)至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对(即二人只能坐在对角线的位置上)现有3位同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐(同一张餐桌的4个座位是没有区别的)，则不同的坐法种数为()A6 B12 C24 D488已知函数f(x)sin(x)，yf(x)的图象关于直线x对称，且与x轴交点的横坐标构成一个
4、公差为的等差数列，则函数f(x)的导函数f(x)的一个单调减区间为()A. B.C. D.9如图，在边长2的等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，O为ABC的中心，过点O的直线l与直线BC交于点P，与直线DE交于点Q，则的取值范围是()A3，) B(，3) C. D.第卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在相应的横线上)10已知集合Ax|(x1)(x2)0，RBx|x0或x3，则AB_11若的二项展开式中x3的系数为，则a_12过点(，1)的直线l与圆x2y24相切，则直线l在y轴上的截距为_13一袋中装有6个大小相同的黑球和白球已知从
5、袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中白球的个数为_；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为_14已知ab0，则的最小值为_15已知定义在R上的偶函数f(x)在(，0上单调递增，且f(1)1.若f(x1)10，则x的取值范围是_；设函数g(x)若方程f(g(x)10有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为_三、解答题(本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a2c2b2ac.(1)求cosB及tan2B的值；(2)若b3，A.求c的值17(本小题满分15分)如图
6、所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，DAB45，四边形CDEF为直角梯形，EFDC，EDCD，AB3EF3，EDa，AD.(1)求证：ADBF；(2)若线段CF上存在一点M，满足AE平面BDM，求的值；(3)若a1，求二面角DBCF的余弦值18(本小题满分15分)已知F1、F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，椭圆C过点M，且MF2F1F2.(1)求椭圆C的方程；(2)经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，若存在点Q(m，0)，使得|QA|QB|.求实数m的取值范围；若线段F1A的垂直平分线过点Q，求实数m的值19(本小题满分15分)设an是各项都为整数的
7、等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b11，a3b27，S5b250，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cnlog2b1log2b2log2b3log2bn，Tnacn1acn2acn3acnn.求Tn；求证：20(本小题满分16分)设函数f(x)x3x2x，kR.(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求k的值及f(x)单调区间；(2)设g(x)(x1)ln(x1)f(x)，若g(x)在0，)上是单调增函数，求实数k的取值范围；(3)证明：当p0，q0及m0，k(2，2)，结合选项知k(0，1是方程表示圆的一个充分不必要条件，故选D.4A命题立意本题考查指数、对
8、数函数的单调性解析a2ln2(1，2)，blog42，clog32(0，1)，bac，故选A.5C命题立意本题考查球的体积、三棱锥的体积解析V球，球的半径R2，又长方体的底面是面积为2的正方形，底面正方形边长为，设高为h，则4，h2，E为AB中点，VD1ACE2，故选C.6C命题立意本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系解析e，ab，取MN中点P，则FPMN，且|FP|b，|MN|2a，|MN|2|FM|2|FN|2，MFN90，故选C.7B命题立意本题考查排列、组合问题解析分为两类：(1)2人在1号餐桌，1人在2号餐桌共有C2326种坐法；(2)1人在1号餐桌，2人在2号餐桌，共有C2
9、326种坐法，根据分类加法计数原理得共有6612种坐法故选B.8A命题立意本题考查正(余)弦型函数的性质解析f(x)图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，f(x)的最小正周期为，2，又f(x)图象关于直线x对称，2k，kZ，k，kZ，又|3，Bx|0x3，又Ax|(x1)(x2)0x|1x2，ABx|00，a24b224ab.当且仅当a2b时等号成立4ab14，当且仅当即或时等号成立，的最小值为4.150，2(，1(3，)命题立意本题考查函数的奇偶性、单调性、分段函数、方程的根解析定义在R上的偶函数f(x)在(，0上单调递增，f(x)在0，)上单调递减，f(x1)10，f(x1)1f
10、(1)，f(|x1|)f(1)，|x1|1，0x2，由f(g(x)10得f(g(x)1，g(x)1，方程f(g(x)10有两个不同的实数解，g(x)1有两个不同的实数解，g(x)aa1有两个不同的实数解，yg(x)a和ya1的图象有两个不同的交点，画出图象如图由图可得a12或a10，a3或a1.16命题立意本题考查正、余弦定理、二倍角公式解题思路(1)利用余弦定理求出cosB，再利用同角三角函数关系式求出sinB，由二倍角公式得sin2B，cos2B，从而求得tan2B.(2)由三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出sinC，再利用正弦定理求得c边解(1)a2c2b2ac，由余弦定理得，cos
11、B.sinB.sin2B2sinBcosB，cos2B2cos2B1，tan2B.(2)sinCsin(AB)sin(AB)sinsinBcoscosBsin，由正弦定理得，c2.17命题立意本题考查线线垂直的证明，线面平行的性质、二面角解题思路(1)建立空间直角坐标系，利用0证得ADBF；(2)设，求出平面BDM的一个法向量n1，由n10求出值；(3)求出平面BCF的一个法向量n2，利用向量法求得二面角的余弦值解(1)平面CDEF平面ABCD，EDCD，ED平面ABCD.如图，以D为原点，DC所在直线为y轴，过点D垂直于DC的直线为x轴，建立空间直角坐标系Dxyz，DAB45，AB3EF3，
12、EDa，AD.A(1，1，0)，B(1，2，0)，C(0，3，0)，E(0，0，a)，F(0，1，a)(1，1，a)，(1，1，0)，(1，1，a)(1，1，0)0，ADBF.(2)设(0，2，a)(0，2，a)，则(0，3，0)(0，2，a)(0，32，a)设平面BDM的法向量为n1(x1，y1，z1)，则取x12，得y11，z1，即n1.若AE平面BDM，则n10，即210，解得.线段CF上存在一点M，满足AE平面BDM，此时.(3)设平面BCF的法向量为n2(x2，y2，z2)，则取x21，得y21，z22，即n2(1，1，2)又平面BCD的法向量为n3(0，0，1)，|cosn2，n3
13、|，由图形可知，二面角DBCF为锐角，二面角DBCF的余弦值为.18命题立意本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系解题思路(1)由点M在椭圆上和c1解方程组得a，b，写出椭圆方程；(2)设直线l的方程与椭圆方程联立，消y，利用韦达定理得AB中点N的坐标 ，由QNl求得m关于k的表达式由0得k范围，从而求得m范围；由题意知F1、A、B三点都在以O为圆心的圆上，写出圆的方程与椭圆方程联立，消y，利用韦达定理及A、B既是直线与椭圆的交点又是圆与椭圆的交点列方程求得k和m.解(1)M(1，)，MF2F1F2，解得椭圆C的方程为y21.(2)由题意易知直线l的斜率存在设直线的方程为yk(x2)，代入椭
14、圆C的方程，消去y，得(12k2)x28k2x8k220.直线l交椭圆C于A、B两点，(8k2)24(12k2)(8k22)0，解得2k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.设AB中点为N(x0，y0)，则有x0，y0k(x02)，当k0时，|QA|QB|，QNl，kQMkk1，解得m.m1.当k0时，可得m0，综上，m.依题意有|QF1|QA|QB|，且F1(1，0)，由消去y，得x24mx4m0，x1，x2也是此方程的两个根，x1x24m，x1x24m.，解得k2.m，即实数m的值为.19命题立意本题考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、放缩法证明不等式
15、解题思路(1)解方程组求得d和q，写出an、bn的通项公式；(2)由(1)及等差数列前n项和公式得cn通项公式，从而得到acni的通项公式，利用分组求和求得Tn；对进行放缩得，再求和即可证得不等式成立解(1)设an的公差为d，bn的公比为q，依题意，S5b25(12d)q50，a3b2(12d)q7，解得d2，q2或d，q5，由于an是各项都为整数的等差数列，所以d2，q2.从而an2n1，bn2n1.(2)log2bnn1，cn012n1，acni21n2n12i，Tnn2n12n2n14n2n12nn(n2n1)(242n)n(n2n1)n(n1)n3.，而 ，12.20命题立意本题考查利
16、用导数研究函数的极值、单调区间、证明不等式、等比数列前n项和公式解题思路(1)由f(1)0得k值，解不等式求得f(x)的单调区间；(2)由f(x)在0，)上单调递增得g(x)0在0，)上恒成立构造函数h(x)ln(x1)kx2x，对h(x)求导，分k0，0k12m1两边取对数转化为证明ln1ln1，构造函数(x)ln(1ax)(x0)，其中a(0，1)对(x)求导，结合(2)中结论得(x)单调性，不等式得证解(1)f(x)kx2x1，x1是函数f(x)的一个极值点，f(1)k110，解得k2.f(x)2x2x1，当f(x)0，即x1时，f(x)单调递增，当f(x)0，即x1时，f(x)单调递减
17、，f(x)的单调递增区间为和(1，)，单调递减区间为.(2)g(x)(x1)ln(x1)x3x2x，g(x)ln(x1)kx2x，若g(x)在0，)上是单调增函数，则g(x)0对任意x0，)恒成立令h(x)ln(x1)kx2x，h(x)2kx1，1)若k0，则h(x)0，由h(x)0解得x0，x1，当0k0，x时，h(x)0，h(x)单调递减，h(x)h(0)0，不合题意当k时，0，h(x)单调递增，h(x)h(0)0，即g(x)0对任意x0，)恒成立综上，k时，g(x)在0，)上是单调增函数不妨设pq0，则00)，其中a(0，1)(x)，由(2)知ln(x1)xx2，ln(ax1)axa2x，(x)0，lnaa2xa2x，(x)0，(x)在(0，)上是单调减函数，0mn，02m1ln1，原不等式成立
