1、第3讲空间向量与立体几何A组基础题组1.(2017云南第一次统一检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,BB1=1,P是AB的中点,则异面直线BC1与PD所成的角等于() A.30B.45C.60D.902.(2017云南第一次统一检测)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16的球O的球面上,AC为球O的直径.当三棱锥P-ABC的体积最大时,二面角P-AB-C的大小为,则sin =()A.B.C.D.3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是.4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,点D在棱BB1上,若
2、BD=3,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为.5.(2017课标全国,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.6.(2017安徽两校阶段性测试)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,BCAD,ABAD,且AB=BC=1,AD=2,顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上,PAPD.(1)求证:平面PAB平面PAD;(2)若直线AC与PD所成角为60,求二面角A-PC-D的余弦值.B组提升题组1.(2017贵州适应性考试)如图1,在等腰直
3、角三角形ABC中,B=90,将ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形,使二面角A-DE-C的大小为.(1)求证:平面ABD平面ABC;(2)若=,求直线AE与平面ABC所成角的正弦值.2.如图,正方形ADEF所在的平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.(1)求证:ACBF;(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC平面BCEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.C如图,取A1B1的中点E,连接D1E,AD1,AE,则AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角.因为AB=2,所以A1E=1,又BC=BB1=1,所以D
4、1E=AD1=AE=,所以AD1E为正三角形,所以AD1E=60,故选C.2.C设球O的半径为R,由4R2=16,得R=2,设点P到平面ABC的距离为d,则0d2,因为AC为球O的直径,所以AB2+BC2=AC2=16,则V三棱锥P-ABC=ABBCd2=,当且仅当AB=BC=2,d=2时,V三棱锥P-ABC取得最大值,此时平面PAC平面ABC,连接PO,易知PO平面ABC,过点P作PDAB于D,连接OD,则易知AB平面POD,则ABOD,所以PDO为二面角P-AB-C的平面角,因为OD=BC=,所以PD=,则sin =sinPDO=.故选C.3.答案0,1解析依题意,设=,其中0,1,=(+
5、)=(+)=+=1+=1-0,1,因此的取值范围是0,1.4.答案解析取AC的中点E,连接BE,如图,可得=(+)=42=12=52cos (为与的夹角),所以cos =,sin =,又因为BE平面AA1C1C,所以所求角的正切值为.5.解析(1)由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,又APPD=P,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,又ADAB=A,可得PF平面ABCD.以 F为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐
6、标系F-xyz.由(1)及已知可得A,P,B,C.所以=,=(,0,0),=,=(0,1,0).设n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,则即可取n=(0,-1,-).设m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,则即可取m=(1,0,1).则cos=-.易知二面角A-PB-C为钝二面角,所以二面角A-PB-C的余弦值为-.6.解析(1)证明:PH平面ABCD,AB平面ABCD,PHAB.ABAD,ADPH=H,AD,PH平面PAD,AB平面PAD.又AB平面PAB,平面PAB平面PAD.(2)以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,如图,PH平面ABCD,z轴PH.则A(0,0,0
7、),C(1,1,0),D(0,2,0),设AH=a,PH=h(0a0),则P(0,a,h),=(0,a,h),=(0,a-2,h),=(1,1,0).PAPD,=a(a-2)+h2=0.AC与PD所成的角为60,|cos|=,(a-2)2=h2,由得(a-2)(a-1)=0,0a0,h=1,P(0,1,1).=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,-1,0),设平面APC的法向量为n=(x1,y1,z1),由得平面APC的一个法向量为n=(1,-1,1),设平面DPC的法向量为m=(x2,y2,z2).由得平面DPC的一个法向量为m=(1,1,1).cos=.二面角A-
8、PC-D的平面角为钝角,二面角A-PC-D的余弦值为-.B组提升题组1.解析(1)证明:在等腰直角三角形ABC中,ABBC,且DE为ABC的中位线,DEBC,DEAB.由翻折,可知DEAD,DEDB,ADDB=D,DE平面ADB,BC平面ADB,而BC平面ABC,平面ABD平面ABC.(2)由(1)可知,ADB为二面角A-DE-C的平面角,ADB=,又AD=DB,ADB为等边三角形,如图,O为DB的中点,连接OA,过点O作OFBC交CE于点F,则AOBD,OFBD,由(1)知BC平面ADB,AOBC,AO平面BCED,以O为坐标原点,OB,OF,OA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
9、.设BD=2,则A(0,0,),B(1,0,0),C(1,4,0),E(-1,2,0),=(1,0,-),=(1,4,-),=(-1,2,-),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则n=(,0,1)是平面ABC的一个法向量.设AE与平面ABC所成的角为,则sin =.2.解析(1)证明:平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,AFAD,AF平面ADEF,AF平面ABCD.AC平面ABCD,AFAC.过A作AHBC于H,则BH=1,AH=,CH=3,AC=2,AB2+AC2=BC2,ACAB,ABAF=A,AC平面FAB,BF平面FAB,ACBF.(2)存在.由(1)知,AF,AB,AC两两垂直.以A为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(-1,2).假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B、E重合,设=,则0,P,=,=(0,2,0).设平面PAC的法向量为m=(x,y,z),则即令x=1,则z=,所以m=为平面PAC的一个法向量.同理,可求得n=为平面BCEF的一个法向量.当mn=0,即=时,平面PAC平面BCEF,故存在满足题意的点P,此时=.
