1、中档解答题(二) 时间:35分钟 分值:70分1.如图,已知点O为ABC的外心,BAC,ABC,ACB的对边分别为a,b,c,且2+3+4=0.(1)求cosBOC的值;(2)若ABC的面积为,求b2+c2-a2的值.2.如图,已知直角梯形ABCD中,AB=AD=CD=2,ABDC,ABAD,E为CD的中点,沿AE把DAE折起到PAE的位置(折起后D变为P),使得PB=2,如图.(1)求证:平面PAE平面ABCE;(2)求直线PB和平面PCE所成角的正弦值.图图3.某学校的一个社会实践调查小组在对高中生的“良好作息习惯”的调查中,随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计,得到如
2、下22列联表:做不到良好作息习惯能做到良好作息习惯合计男451055女301545合计7525100 (1)现用分层抽样的方法按是否能做到良好作息习惯,从女生的45份问卷中随机抽取了9份,再从这9份问卷中随机抽取4份进行进一步调查,记能做到良好作息习惯的问卷的份数为,试求随机变量的分布列和数学期望;(2)如果认为“良好作息习惯与性别有关”犯错误的概率不超过p,请根据临界值表确定最精确的p的值,并说明理由.附:K2=,其中n=a+b+c+d.独立性检验临界值表:P(K2k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.0244.(2017湖北黄冈3月
3、调研)数列an中,a1=2,an+1=an(nN*).(1)证明:数列是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)设bn=,若数列bn的前n项和是Tn,求证:Tn2.5.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为=.(1)写出直线l的普通方程和曲线C1的直角坐标方程;(2)若将曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上任意一点,求点P到直线l距离的最小值.6.(2017河北石家庄二模)设函数f(x)=|x-1|-|2x+1|的最大值为m.(1)作出函数f(x)的图
4、象;(2)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.答案精解精析1.解析(1)设ABC外接圆的半径为R,由2+3+4=0得3+4=-2,两边平方得9R2+16R2+24R2cosBOC=4R2,所以cosBOC=-.(2)由题意可知BOC=2BAC,BAC,cosBOC=cos 2BAC=2cos2BAC-1=-,从而cosBAC=,所以sinBAC=,ABC的面积S=bcsinBAC=bc=,故bc=8,从而b2+c2-a2=2bccosBAC=28=4.2.解析(1)证明:如图,取AE的中点O,连接PO,OB, BE.在平面图形中,易知四边形ABED为正方形,所以在立体图形中,P
5、AE,BAE为等腰直角三角形,所以POAE,OBAE,PO=OB=,因为PB=2,所以PO2+OB2=PB2,所以POOB,又AEOB=O,所以PO平面ABCE,因为PO平面PAE,所以平面PAE平面ABCE.(2)解法一:由(1)知,OB,OE,OP两两垂直,以O为坐标原点,以OB,OE,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则O(0,0,0),P(0,0,),B(,0,0),E(0,0),C(,2,0),所以=(,0,-),=(0,-,),=(,0).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得y=-1,z=-1,故平面PCE的一个法向量为n=(1,-1
6、,-1).所以cos=,所以直线PB和平面PCE所成角的正弦值为.解法二:由(1)可知,POAE,OBAE,POOB=O,故AE平面POB.因为PB平面POB,所以AEPB,又BCAE,所以BCPB.在RtPBC中,PC=2.在PEC中,PE=CE=2,所以SPEC=2=.设点B到平面PCE的距离为d,由V三棱锥P-BCE=V三棱锥B-PEC,得d=.设直线PB和平面PCE所成角为,则sin =.3.解析(1)由题意可知,9份问卷中,做不到良好作息习惯的份数为30=6,能做到良好作息习惯的份数为15=3,的所有可能值为0,1,2,3,且P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,的
7、分布列为0123P的数学期望E()=0+1+2+3=.(2)K2=3.03(2.706,3.841),p的最精确的值为0.10.4.解析(1)由题设得=,又=2,所以数列是首项为2,公比为的等比数列,所以=2=22-n,an=n22-n=.(2)证明:bn=,因为对任意nN*,2n-12n-1,所以bn.所以Tn1+=22.5.解析(1)直线l的普通方程为x-y+2=0,曲线C1的参数方程为(为参数).(2)由题意知,曲线C2的参数方程为(为参数).可设点P(cos ,sin ),则点P到直线l的距离为d=,所以dmin=,即点P到直线l距离的最小值为.6.解析(1)因为f(x)=|x-1|-|2x+1|,所以f(x)=画出图象如图.(2)由(1)可知m=.因为=m=a2+2c2+3b2=(a2+b2)+2(c2+b2)2ab+4bc,所以ab+2bc,当且仅当a=b=c=时,等号成立.所以ab+2bc的最大值为.
