1、（新课标）云南省昆明市第一中学2021届高三数学第一次摸底测试试题 文（含解析）注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区城内，写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效.5.考试结束后，
2、请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A =，集合B = ，则AB =（ ）A. 0，1B. - 1，1C. -1，0)D. - 1，0【答案】A【解析】【分析】先根据圆的范围和值域的求法，化简两个集合，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合，集合，所以，故选：A【点睛】本题主要考查结合的基本运算以及值域的求法和圆的范围，属于基础题.2. 复数z满足，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A. (1，0)B. (0，1)C. (，0)D. (0， )【答案】D【解析】【分析】求出左
3、边复数的模，利用除法运算化简复数z，可得复数z的坐标，从而可得答案.【详解】因为，所以，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，故选：D【点睛】本题主要考查复数的模与复数的除法运算，考查了复数的坐标表示，属于基础题.3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线方程求出焦点，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线距离求解.【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线，双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，属于容易题.4. 已知是公差为的等差数列，
4、为数列的前n项和，若成等比数列，则（ ）A. B. 14C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】由成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式化简可得，,再利用等差数列前项和公式即可得.【详解】解设数列的公差为，由题意，由成等比数列,所以，整理得，故，所以.故选:B【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.5. 我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（ ）A. 样本中的男生数量多于女生数量B. 样本中有理科意愿的学生数
5、量少于有文科意愿的学生数量C. 对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D. 对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数【答案】C【解析】【分析】由等高条形图的特点和性质进行判断，【详解】由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，故选：C【点睛】本题主要考查了独立性检验中利用等高条形图判断两个变量之间的差异，属于基础题.6. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的
6、回文数有11 ，22 ，3，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）A. 40B. 30C. 20D. 10【答案】A【解析】【分析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，.如果末（首）位为，中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，中间一位数均有种可能，所以有个，故选：A【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 阅读下面的程序框图，则输出的S =（ ）A. 15B. 4C. 31D. 5【答案】C【解析】【分析】根据程序框图逐次计算可得输出的的值
7、.【详解】第一次判断前，；第二次判断前，；第三次判断前，；第四次判断前，执行判断后，满足，终止循环，故.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果，此类问题，可模拟计算机逐次计算即可，计算时注意判断条件是否满足.本题属于基础题.8. 已知圆C: 与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，则弦长（ ）A. B. 5C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别令和，从而求出A，B两点的坐标，由两点的距离公式可求出弦长.【详解】令，解得或0；令，解得或0.所以，所以，故选:A【点睛】本题考查了两点的距离公式，属于基础题.本题的关键是求出A，B两点的坐标.9. 函数的值域为（ ）A. (-，-2B.
8、 2，+)C. (-，-2 2，+)D. -2，2【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可求该函数的值域.【详解】当时，当时，所以函数的值域为，故选：C【点睛】本题考查函数值域、基本不等式，注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.10. 在三棱锥S-ABC中，平面SAB平面ABC，ABC是边长为3的等边三角形，SAB是以AB为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 32B. 16 .C. 24D. 12【答案】D【解析】【分析】先根据题意确定三棱锥外接球的球心为ABC外接圆圆心，再根据正弦定理求得求半径，最后根据球表面积公式得结果.【详解】由题
9、意，是以斜边的直角三角形，以三角形所在平面截球所得的小圆面圆心在中点，又因为平面平面，所以平面截球所得平面即为大圆.因为是边长为的正三角形，其外接圆半径，故该三棱锥外接球的半径，其表面积，故选：D【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力，属基础题.11. 已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：函数的图象关于直线对称.；函数的图象关于点对称；函数在区间上单调递减；函数在上有个零点.正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的最小正周期以及平移后的函数的奇偶性求出、的值，可求得函数的解析式，利用正
10、弦型函数的对称性可判断的正误；利用正弦型函数的单调性可判断的正误；当时，解方程可判断的正误.【详解】因为函数的最小正周期为，则，则，将函数的图象向右平移个单位后得到函数，由于函数为奇函数，则，可得.，则，.对于命题，正确；对于命题，正确；对于命题，当时，所以，函数在区间上单调递减，正确；对于命题，当时，由可得或，解得或，错误.故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的对称性、单调性与零点个数的判断，同时也考查了利用正弦型函数的周期和图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12. 已知定义在R.上的偶函数f(x)， 对任意xR，都有f(2-x) =f(x +2)，且当时.若在a 1时，关于x
11、的方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A. (1，2)B. (，2)C. (2， +)D. (2，+)【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶性和周期性作的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得，进而可求出实数a的取值范围.【详解】依题意函数的图象关于轴及直线对称，所以的周期为，作出时的图象，由的奇偶性和周期性作出的图象，关于的方程恰有三个不同的实数根，可转化为函数与的图象有三个不同的交点，由数形结合可知，解得，故选:B【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本
12、题的关键.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x， y满足约束条件，则z =2x +y的最大值是_.【答案】6【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得的最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由可得，故.平移动直线至处时，取得最大值，且最大值为故答案为：6.【点睛】本题考查线性规划，注意利用它来求最值时，应挖掘目标函数的几何意义，本题属于基础题.14. 已知，则在方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】利用数量积的几何意义可求投影的值.【详解】在方向上的投影是故答案为：.【点睛】本题考查数量积的几何意义，考查学生对概念的理解与掌握，本题属于基础题.
13、15. 函数在处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先求导数，计算切线斜率和切点坐标，再利用点斜式写出切线方程即可【详解】因为，所以切线斜率，又因为，所以切点为，所以所求切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的方程，属于基础题.16. 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 ，线段AC1上有两个动点E、F，且EF，给出下列四个结论:CEBD三棱锥E - BCF的体积为定值BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确的结论是_【答案】【解析】【分析】根据棱柱的结构特征和线面关系逐项排除即可.
14、【详解】因平面，所以，故对；因为点到直线的距离是定值，点到平面的距离也是定值，所以三棱锥的体积为定值，故对；线段在底面上的正投影是线段，所以在底面内的正投影是.又因为线段的长是定值，所以线段是定值，从而的面积是定值，故对；设平面与平面的交线为，则在平面内与直线平行的直线有无数条，故对. 所以正确结论是 故答案为：【点睛】本题主要考查命题的真假判断，解题时要认真审题，要熟练掌握棱柱的结构特征，线与面之间的关系.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 某杜
15、区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区中随机抽取了18名男性居民和12名女性居民，对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类:甲类(不参加体育锻炼)、乙类(参加体育锻炼)，调查结果如下表: （1）根据上表中的统计数据，完成下面的2 2列联表:（2）通过计算判断是否有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关?附 【答案】（1）表格见解析；（2）没有的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关.【解析】【分析】（1）根据调查结果完成列联表即可；（2）根据列联表计算，与附表对照，即可判断.【详解】解：（1）填写的列联表如下男性居民女性居民合计不参加体育锻炼参加体育锻炼合计（
16、2）计算 因为.所以没有的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关.【点睛】本题考查了利用独立性检验解决实际问题，属于基础题.18. 已知的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且 （1）求A；（2）若a=，且ABC的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简整理得的方程并求得，再根据A的范围求得A即可；（2）利用面积公式求出，再结合余弦定理求出，即得的周长.【详解】解：（1）因为，所以解得或（舍），又因为，所以 .（2）因为，所以，又因为，所以，从而得，因为，所以，所以的周长为.【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式，以及诱导公式和二倍角的余弦公式
17、，属于中档题.19. 如图，在六面体ABCDEF中，AB/CD，ABAD，且AB =AD =CD= 1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF平面ABCD.（1）证明:平面BCE平面BDE;（2）求六面体ABCDEF的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，再由面面垂直得到平面，即可得到，从而得到平面，即可得证；（2）根据计算可得；【详解】解：（1）证明：因为，且，可得，所以又平面平面，平面平面，四边形是正方形，平面，可得平面，平面，则，平面，故平面， 平面，所以平面平面 （2） 所以六面体的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，以及几何体体积的计算，属于
18、中档题.20. 已知点Q是圆M: 上一动点(M为圆心)，点N的坐标为(1，0)，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的轨迹方程;（2）直线l过点P(4，0)交曲线E于点A，B，点B关于x的对称点为D，证明:直线AD恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据中垂线性质得，即得，最后根据椭圆定义求方程;（2）先设直线的方程，并与椭圆方程联立，再根据，共线，结合韦达定理求得，即得定点.【详解】解：（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，所以，由椭圆定义知：动点的轨迹为以原点为中心的椭圆，其中：，又， 所以曲线的轨迹方程为.（2）设，则，
19、由题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为：， 由消得：，故因为，共线，其中，所以，整理得，则，解得，此时则直线的方程为：，所以直线恒过定点【点睛】本题考查椭圆标准方程、椭圆定义、直线过定点，考查综合分析求解能力，属中档题.21. 已知函数（1）当a = 1时，求函数f(x)单调区间;（2）若函数f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间；（2）.【解析】【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）令，则有两个不同的零点，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】解：（1）当时，函数的定义域为，设，则，当时，为增函
20、数；当时，为减函数所以，即，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）因为，所以，令，由题意可知在上有两个不同零点又，若，则，故在上为增函数，这与在上有两个不同零点矛盾，故.当时，为增函数；当时，为减函数故，因为在上有两个不同零点，故即即.取，故在有一个零点，取，令，则，故在为减函数，因为，故，故，故在有一个零点，故在上有两个零点，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数单调性和函数的零点，后者应该利用导数研究单调性并结合零点存在定理来判断，本题属于较难题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.选修4 -4:坐标系与参数方程22.
21、已知平面直角坐标系xOy中，曲线经过伸缩变换得到曲线C2，直线l过点P(-1，0)，斜率为，且与曲线C2交于A，B两点.（1）求曲线C2的普通方程和直线l的参数方程;（2）求的值.【答案】（1）（为参数）；（2）.【解析】【分析】(1)由变换规则可得，代入曲线可得C2普通方程，由已知条件即可写出直线的参数方程.(2) 设，所对应参数分别为，将的参数方程代入曲线，结合韦达定理和参数的几何意义即可求出的值.【详解】（1）由得，代入曲线得：，所以曲线的普通方程为.因为直线过点，斜率为，所以的参数方程为（为参数）.（2）设，所对应参数分别为，将的参数方程代入曲线得:，则，且，所以，.【点睛】本题考查了
22、伸缩变换，考查了直线的参数方程，考查了参数的几何意义.选修4 -5:不等式选讲23. 已知函数.（1）当a = 1时，求不等式f(x)2的解集;（2）若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)代入，通过讨论去掉绝对值号，从而求出解集.(2)讨论的取值范围，去掉函数的绝对值号，从而可得图象与轴所围成的三角形三个顶点的坐标，进而可求出面积表达式，由题意可写出关于a的不等式，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：（1）时，由不等式可得：，可化为： 或 或，解得： 或 或 ，即：，则不等式的解集为.（2）因为 所以的图象与轴所围成的三角形，三个顶点分别为，由题意，整理得：，因为，所以解得：，所以，实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，同时也考查了利用绝对值函数与坐标轴围成三角形面积求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
