1、44.3不同函数增长的差异教材要点要点三种常见函数模型的增长差异函数性质yax（a1）ylogax（a1）ykx（k0）在（0，）上的增减性图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度yax（a1）的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个x0，当xx0时，恒有增长结果存在一个x0，当xx0时，有状元随笔（1）指数函数模型：能用指数型函数f（x）abxc（a，b，c为常数，a0，b1）表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”（2）对数函数模型：能用对数型函数f（x）mlog
2、axn（m，n，a为常数，m0，x0，a1）表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”基础自测1.思考辨析（正确的画“”，错误的画“”）（1）函数ylog12x的衰减速度越来越慢（）（2）函数ylg x的增长速度越来越快（）（3）增长速度不变的函数模型是一次函数模型（）（4）对任意x（0，），总有2xx2.（）2下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为（）x21012y116141416A一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型3已知y12x，y22x，y3log2
3、x，当2x4时，有（）Ay1y2y3 By2y1y3Cy1y3y2 Dy2y3y14函数yx2与函数yln x在区间（0，）上增长较快的是题型1几种函数模型增长的差异例1（1）下列函数中，增长速度最快的是（）Ay2021x Byx2021Cy2021x Dylog2021x（2）已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：x12468y1241664256y214163664y30122.5853则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（）Ay1x2，y22x，y3log2xBy12x，y2x2，y3log2xCy1log2x，y2x2，y32xDy12x，y2lo
4、g2x，y3x2方法归纳几类不同增长的函数模型（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型（2）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型（3）增长速度较慢的函数模型是对数函数模型跟踪训练1四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi（x）（i1，2，3，4）关于时间（x1）的函数关系是f1（x）x2，f2（x）2x，f3（x）log2x，f4（x）2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是（）Af1（x）x2 Bf2（x）2xCf3（x）log2x Df4（x）2x题型2指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较例2函数f（x）2x和g（x）x3，x0的图象，如图所
5、示设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2.（1）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较f（8），g（8），f（2021），g（2021）的大小方法归纳比较函数增长快慢的方法：（1）利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢；（2）借助函数图象，通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢；（3）通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢跟踪训练2已知函数f（x）ln x，g（x）0.5x1的图象如图所示（1）指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数（2）借助图象，比较f（x）和g（x）的大小题型3
6、函数模型的选择例3为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园东昌湖进行进一步净化和绿化为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45 m2，四月底浮萍覆盖面积为80 m2，八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y（单位：m2）与月份x（2020年1月底记x1，2021年1月底记x13）的关系有两个函数模型ykax（k0，a1）与ymlog2xn（m0）可供选择（1）你认为选择哪个模型更符合
7、实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2？（可能用到的数据log2153.9，32391.37，3202366.72）方法归纳指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用，可根据增长得快慢特征选择、建立函数模型，再利用指数、对数运算解决问题，已经给出函数模型的，则直接代入相应的数据计算解决跟踪训练3某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100 kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t（天）60100180种植成本Q（元/100 kg）11684116根据上表数据，
8、从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.利用你选取的函数，回答下列问题：（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是；（2）最低种植成本是（元/100 kg.）课堂十分钟1下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（）Ay100 By100xCy1.01x Dylog2x2.能反映如图所示的曲线的增长趋势的是（）A一次函数 B幂函数C对数函数 D指数函数3能使不等式log2xx22x一定成立的x的取值区间是（）A（0，） B（2，）C（，2） D（4，）4下列选项是四种生意预期的效益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，
9、更为有前途的生意是（填序号）y101.05x；y20x1.5；y30lg （x1）；y50.5每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好？44.3不同函数增长的差异新知初探课前预习要点增函数增函数增函数ykx(k0)logaxkxlogax基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：C3答案：A4答案：yx2题型探究课堂解透例1解析：(1)指数函数yax在a1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越
10、快故选A.(2)从题表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化故选B.答案：(1)A(2)B跟踪训练1解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终在前面的物体具有的函数关系是f4(x)2x.答案：D例2解析：(1)C1对应的函数为g(x)x3，x0，C2对应的函数为f(x)2x.(2)因为g(1)1，f(1)2，g(2)8，f(2)4，g(9)729，f(9)512，g(10)1 000，f(10)1 024，所以f(1)g(1)，f(2)g(2)
11、.f(9)g(10).所以1x12，9x210，所以x18x22 019，由图象知，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(8)x2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，)上单调递增，所以g(8)g(2 019)g(2 019)g(8)f(8).跟踪训练2解析：(1)C1对应的函数为g(x)0.5x1，C2对应的函数为f(x)ln x.(2)当x(0，x1)时，g(x)f(x)；当x(x1，x2)时，g(x)f(x)；当xx1或x2时，g(x)f(x).综上，当xx1或x2时，g(x)f(x)；当x(x1，x2)时，g(x)f(x).例3解析：(1)若选择数据(2，45)和(4，80)，由
12、，解得则y35log2x10，当x8时，y35log2810115，与实际情况相符，由，解得则y，当x8时，y115，与实际情况差别比较大，故选函数模型y35log2x10；(2)因为35log21510353.910146.5，35log21610150，而146.5148150，所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2.跟踪训练3解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Qat2btc，且开口向上(1)函数图象的对称轴方程为t120.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.(2)将表格中的数据代入Qat2btc，得解得所以最低种植成本是14 400a120bc14 4000.01120(2.4)22480(元/100 kg).答案：(1)120(2)80课堂十分钟1答案：C2答案：C3答案：D4答案：5解析：方案一5年后树木面积是101515(万平方米).方案二5年后树木面积是10(19%)515.386(万平方米).因为15.38615，所以方案二较好
