1、二次函数考向1 二次函数之周长与最值问题1如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值解（1）设抛物线的解析式为y=，把B（1，0）代入解析式得：4a4=0，解得a=1，y=；（2）四边形MNHG为矩形，MNx轴，设MG=NH=n，把y=n代入y=，即n=，=0，由根与系数关系得=2，=n3，=4，=44（n3）=164n，MN= =2，设矩形MNH
2、G周长为C，则C=2（MNMG）=2（2n）=42n，令=t，则n=4，C=24t8=2，20，t=1时，周长有最大值，最大值为10考向2二次函数之面积问题2如图，二次函数y=x2bxc的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标
3、；若不存在，请说明理由.解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=x2bxc，得解得该抛物线的函数表达式为y=x22 x3；（2）CPEB，OPEBCP=90，OPEOEP=90，OEP=BPC，tanOEP=tanBPC=设OE=y，OP=x，=整理，得y=x2x=（x）2当OP=时，OE有最大值，最大值为，此时点P在（，0）处.（3）过点M作MFx轴交BN于点F，N（0，3），B（3，0），直线的解析式为y=3 m.设M（m, m22 m3）,则MF=m23m，MBN的面积=OBMF=( m23m) =( m) 2 .点M的坐标为（，）时，MBN的面积存在最大值.考向3 二次函数之等腰
4、三角形问题3二次函数的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.（1）求二次函数的表达式；（2）连接BD，当t=时，求DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=时，在直线MN上存在一点Q，使得AQC+OAC=90,求点Q的坐标.解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，a=，b=，；（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将点B（4，0）
5、，C（0，2）代入解析式，得： ，解得： ，BC的直线解析式为，当t=时，AM=3，AB=5，MB=2，M（2，0），N（2，1），D（2，3），SDNB =SDMB -SMNB =MBDM-MBMN=22=2；（3）BM=5-2t，M（2t-1，0），设P（2t-1，m），PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，PB=PC，（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，m=4t-5，P（2t-1，4t-5），PCPB，t=1或t=2，M（1，0）或M（3，0），D（1，3）或D（3，2）；（4）当t=时，M（，0），点Q在抛物线对称性x=上，如图，过点A作A
6、C的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=的交点分别为Q1与Q2，AB=5，AM=，AQ1C+OAC=90，OAC+MAG=90，AQ1C=MAG，又AQ1C=CGA=MAG，Q1（，），Q1与Q2关于x轴对称，Q2（，），Q点坐标分别为（，），（，）.考向4 二次函数之相似三角形问题4如图（14），抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，3）点P、Q是抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求POD面积的最大值（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标 解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）
7、，点B（3，0），设抛物线的解析式为又抛物线过点 D（2，3），（2）如图，设PD与y轴相交于点F，OD与抛物线相交于点G， 设P坐标为（），则直线PD的解析式为，它与y轴的交点坐标为F（0，2m3），则OF=2m+3 由于点P在直线OD下方，所以 当时，POD面积的最大值；（3）由得抛物线与y轴的交点C（0，3），结合A（1，0）得直线AC的解析式为，当OEAC时，OBE与ABC相似；此时直线OE的解析式为又的解为，；Q的坐标为和如图，作ENy轴于N，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得AB=3(1)=4，BO=3，BC=当即时 ，OBE与ABC相似；此时BE= 又OBCONE，NB
8、=NE=2，此时E点坐标为（1，2），直线OE的方程为又的解为，； Q的坐标为和综上所述，Q的坐标为，考向5 二次函数之特殊四边形问题5.如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，点为抛物线上一动点（不与、重合）（1）求抛物线和直线的解析式；（2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；（3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、，、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）将点、的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线的表达式为：，将点、的坐标代入抛物线表
9、达式，同理可得抛物线的表达式为：；（2）直线的表达式为：，则直线与轴的夹角为，即：则，设点坐标为、则点，故有最大值，当时，其最大值为18；（3），当是平行四边形的一条边时，设点坐标为、则点，由题意得：，即：，解得：或0或4（舍去，则点坐标为，或，或；当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，设点坐标为、则点，、，、为顶点的四边形为平行四边形，则的中点即为中点，即：，解得：或（舍去，故点；故点的坐标为：，或，或或考向6 二次函数之角度存在性问题6. 若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,2),且过点C(2,2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物
10、线上第一象限内的点,且SPBA=4,求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使ABO=ABM？若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c过点(0,2),c=2,又抛物线过点(3,0)(2,2),解得,抛物线的表达式为；(2)连接PO,设点P()；则SPAB=SPOA+SAOBSPOB=,由题意得:m23m=4,m=4,或m=1(舍去),=,点P的坐标为(4,).(3)设直线AB的表达式为y=kx+n,直线AB过点A(3,0),B(0,2),3k+n=0,n=2,解之,得:k=,n=2,直线AB的表达式为:y=x2,设存在点M满足题意
11、,点M的坐标为(t,).过点M作MEy轴,垂足为E,作MDx轴交于AB于点D,则D的坐标为(t,t2),MD=,BE=|.又MDy轴,ABO=MDB,又ABO=ABM,MDB=ABM,MD=MB,MB=.在RtBEM中,+t2=,解之,得:t=,点M到y轴的距离为.考向7 二次函数之新定义问题7特例感知：(1)如图1，对于抛物线，下列结论正确的序号是 ；抛物线，都经过点C(0，1)；抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念：(2)把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.“系列平
12、移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；在中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断，是否平行？并说明理由.解：（1）对于抛物线，来说，抛物线，都经过点C(0，1)，正确；抛物线，的对称轴分别为：，抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到，正确；抛物线，与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为
13、：-1、-2、-3，抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.正确.答案：；（2）由可知，顶点坐标为（，），该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，相邻两点的距离相等，且距离为：.将y=1代入可得，x=-n（0舍去），点（-1，1），（-2，1），（-3，1），（-n，1）.当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，点（-k-1，），（-k-2，），（-k-3，），（-k-n，）.设，的解析式分别为：y=px+q，y=mx+n，则，解得p=k+n，m=k+n-1，pm，不平行.
