1、模块综合测评(二)(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则a3等于()A8B4C2D1A由题可知Sn2(an1)，所以S1a12(a11)，解得a12又S2a1a22(a21)，解得a24又S3a1a2a32(a31)，解得a382在等差数列an中，a21，a65，则an的前7项和S7()A15 B21 C24 D35 B因为a21，a65，所以a1a7a2a66，所以数列的前7项和S76213以下运算正确的个数是()；(cos x)sin x
2、；(2x)2xln 2；(lg x)A1 B2 C3 D4B，(cos x)sin x，(2x)2xln 2，(lg x)综上可得正确4设曲线yaxex1在点x1处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3Dyaex1，y|x1a12，则a35已知f(x)为R上的可导函数，且xR，均有f(x)f(x)，则有()Ae2 021f(2 021)f(0)，f(2 021)e2 021f(0)Be2 021f(2 021)f(0)，f(2 021)e2 021f(0)Ce2 021f(2 021)f(0)，f(2 021)e2 021f(0)De2 021f(2 021)f(0)，f(2 02
3、1)e2 021f(0)D构造函数h(x)，则h(x)0，即h(x)在R上单调递减，故h(2 021)h(0)，即e2 021f(2 021)f(0)；同理，h(2 021)h(0)，即f(2 021)e2 021f(0)，故选D6(2020全国卷)在数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k()A2 B3 C4 D5C令m1，则由amnaman，得an1a1an，即a12，所以数列an是首项为2、公比为2的等比数列，所以an2n，所以ak1ak2ak10ak(a1a2a10)2k2k1(2101)2152525(2101)，解得k4，故选C7已知数列an的前n
4、项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B C DB由Sn2an1得，Sn2(Sn1Sn)，整理得3Sn2Sn1，又S110，所以Sn是以1为首项，为公比的等比数列，所以Sn8若函数f(x)x3axb的单调递减区间为(1，1)，则()Aa3，b0 Ba3，bRCa3，b0 Da3，bRDf(x)3x2a，依题意，方程3x2a0的根为1，a3，bR二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9已知an是等比数列，下列结论错误是()A若a1a2，则a4a5B若a1a2，则a3a4C若S3S2
5、，则a1a2D若S3S2，则a1a2ACD等比数列an中，q20，当a1a2时，可得a1q2a2q2，即a3a4，故B正确；但a4a1q3和a5a2q3不能判断大小(q3正负不确定)，故A错误；当S3S2时，则a1a2a3a1a2，可得a30，即a1q20，可得a10，由于q不确定，不能确定a1，a2的大小，故CD错误10已知数列an的首项为4，且满足2(n1)annan10(nN*)，则下列结论正确的是()A为等差数列Ban为递增数列Can的前n项和Sn(n1)2n14D的前n项和TnBD由2(n1)annan10得2，所以是以a14为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为42n12n1，
6、所以ann2n1，显然递增，故B正确；因为Sn122223n2n1，2Sn123224n2n2，所以Sn122232n1n2n2n2n2，故Sn(n1)2n24，故C错误；因为n，所以的前n项和Tn，故D正确11已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6S7S5，则下列命题正确的是()AS110 BS120C数列Sn中最大项为S11 D|a6|a7|ADS6S7S5，a60，a70，a6a70，S1111a60，S1212(a6a7)0，由a60，a70知，数列Sn中最大项为S6，因为a6a70，所以|a6|a7|12已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)ex(x1)则下列结论
7、正确的是()Af(1)0B函数f(x)有3个零点C若关于x的方程f(x)m有解，则实数m的取值范围是f(2)mf(2)Dx1，x2R，|f(x2)f(x1)|2恒成立ABDf(1)f(1)0，故A正确当x0时，f(x)，所以f(x)，令f(x)0，解得x2，当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，故当x2时，函数f(x)取得极大值e20，当0x2时，f(0)f(2)0，又f(1)0，故函数f(x)在(0，2)仅有一个零点1当x2时，f(x)0，所以函数f(x)在(2，)没有零点，所以函数f(x)在(0，)上仅有一个零点，函数f
8、(x)是定义在R上的奇函数，故函数f(x)在(，0)上仅有一个零点1，又f(0)0，故函数f(x)是定义在R上有3个零点故B正确作出函数f(x)的大致图象，由图可知，若关于x的方程f(x)m有解，则实数m的取值范围是1m1故C错误由图可知，对x1，x2R，|f(x2)f(x1)|1(1)|2故D正确三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)13已知4，a，b，25成等差数列，4，c，d，25成等比数列，则ab_，cd_29100ab42529，cd42510014若f(x)ln x2x2，f(x0)3，则x0_f(x)ln x2x2(x0)，f(x)4x，
9、又f(x0)3，f(x0)4x03，解得x015九章算术中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠亦日一尺大鼠日自倍，小鼠日自半问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn_尺2n121n根据题意大老鼠第n天打洞an2n1尺，小老鼠第n天打洞bn尺，所以Sn1242n112n122n121n16若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值
10、范围是_(3，4将函数f(x)有三个不同的零点转化为函数ya与g(x)有三个不同的交点，当x0时，y2x2的图象易得，当x0时，函数g(x)，令g(x)0，x1，g(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，且g(1)3，函数的图象如图所示，函数f(x)有三个不同的零点，3a4四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在正项等比数列an中，已知a34，a4a26(1)求an的前n项和Sn；(2)对于(1)中的Sn，设b1S1，且bn1bnSn(nN*)，求数列bn的通项公式解(1)设正项等比数列an的公比为q(q
11、0)，则由a34及a4a26得4q6，化简得2q23q20，解得q2或q(舍去)于是a11，所以Sn2n1，nN*(2)由已知b1S11，bn1bnSn2n1(nN*)，所以当n2时，由累加法得bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n12n221)(n1)1n22nn又b11也适合上式，所以bn的通项公式为bn2nn，nN* 18(本小题满分12分)已知函数f(x)logkx(k为常数，k0且k1)(1)在下列条件中选择一个，使数列an是等比数列，说明理由：数列f(an)是首项为2，公比为2的等比数列；数列f(an)是首项为4，公差为2的等差数列；(2)在(1)的条件下，当k时
12、，设anbn，求数列bn的前n项和Tn解(1)不能使an成等比数列，可以，由题意f(an)4(n1)22n2，即logkan2n2，得ank2n2，且a1k40，k2， 常数k0且k1，k2为非零常数，数列an是以k4为首项，k2为公比的等比数列(2)由(1)知ank2n2，当k时，an2n1，anbn，bn，bn， Tnb1b2bn19(本小题满分12分)已知函数f(x)xax23ln x，曲线yf(x)过点P(1，0)(1)求函数f(x)解析式(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)由f(x)xax23ln x过点P(1，0)得，1a0，即a1，所以f(x)xx23ln x(2)由(1
13、)知，f(x)12x(x0)，令f(x)0，0x，令f(x)0，x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)极大值为f 3ln ，无极小值20(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an2an12n(n2，且nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设bn2，求使不等式p对一切nN*均成立的最大实数p解(1)证明：an2an12n(n2， 且nN* )，1，即1 (n2，且nN*)，所以数列是首项，公差d1的等差数列(2)由(1)得(n1)d(n1)1n，an2n(3)Sn2122232n，2Sn22232n2n1，得Sn122232n2n
14、1222232n2n112n11(32n)2n3Sn(2n3)2n3，bn222n1由题意得p对nN*恒成立，记F(n)，则1，F(n)0，F(n1)F(n)，即F(n)随n的增大而增大，F(n)的最小值为F(1)，p，即pmax21(本小题满分12分)已知函数f(x)x3x23ax(aR)(1)若f(x)在x1时有极值，求a的值；(2)在直线x1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线yf(x)相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由解(1)由f(x)x3x23ax，得f(x)x22x3a，由f(x)在x1时有极值，可得f(1)123a0，解得a1所以f(x)x22x3(x3)
15、(x1)，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当1x3时，f(x)0，函数f(x)单调递减，因此当x1时，f(x)有极值所以a的值为1(2)不妨设在直线x1上存在一点P(1，b)，使得过点P至少有两条直线与曲线yf(x)相切设过点P且与yf(x)相切的直线为l，切点坐标为(x0，y0)，则切线l的方程为yxx3ax0(x2x03a)(xx0)，又直线l过点P(1，b)，所以bxx3ax0(x2x03a)(1x0)，即x2x2x03ab0，设g(x)x32x22x3ab，则g(x)2x24x22(x1)20，所以g(x)在区间(，)上单调递增，所以g(x)0至多有一个解，即过点P且与yf
16、(x)相切的直线至多有一条，故在直线x1上不存在点P，使得过P至少有两条直线与曲线yf(x)相切22(本小题满分12分)已知函数f(x)ex1(其中e是自然对数的底数)，g(x)ax2x1(aR)(1)函数F(x)f(x)g(x)是否存在极值点？若存在，请求出极值点；若不存在，请说明理由；(2)当1x1x22时，均有f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解(1)由题意知，F(x)f(x)g(x)ex1(ax2x1)，F(x)ex1ax2(2a1)x2ex1(ax1)(x2)当a0时，F(x)ex1(x2)，F(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，F(x)有
17、极小值点x2，无极大值点当a0时，02，F(x)在(，2)、上单调递减，在上单调递增，F(x)有极小值点x2，有极大值x当a0时，当a时，F(x)ex1(x2)20，F(x)在R上单调递增，不存在极值点；当a时，2，F(x)在(，2)、上单调递增，在上单调递减，F(x)有极大值点x2，极小值点x，当0a时，2，F(x)在、(2，)上单调递增，在上单调递减，F(x)有极大值点x，极小值点x2(2)f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)等价于f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)， 所以函数h(x)f(x)g(x)在区间1，2上单调递增 h(x)ex1ax2x1，h(x)ex12ax10在1，2上恒成立， 则2amin，x1，2，令(x)，x1，2， 则(x)0，故(x)在1，2上单调递增，(x)min(1)0，a0，故实数a的取值范围是(，0
