1、第六讲解三角形知识梳理双基自测知识点一正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容 2R(其中R是ABC外接圆的半径)a2 b2c22bccos A b2 a2c22accos B c2 a2b22abcos C 常见变形a 2Rsin A ，b 2Rsin B ，c 2Rsin C sin A ，sin B ，sin C abc sin Asin Bsin C asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A cos B cos C 解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知
2、三边，求各角(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角知识点二在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabab解的个数无解一解两解一解一解无解知识点三三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)知识点四实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫
3、做方位角方位角的范围是0Babsin Asin Bcos AB必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且a1，c，A，则b1或2.()(4)若满足条件C60，AB，BCa的ABC有两个，则实数a的取值范围是(，2)()(5)在ABC中，若bcos Bacos A，则ABC是等腰三角形()(6)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(7)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()题组二走进教材2(必修5P10A组T8改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2
4、，cos A，则b(D)A. B C2 D3解析由余弦定理，得4b222bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)，故选D.3(必修5P10A组T3改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A(B)A45 B75 C105 D60解析由题意：，即sin B，结合bc可得B45，则A180BC75.4(必修5P18T1改编)在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于 2.解析设ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c.由题意及余弦定理得cos A，解得c2.所以Sbcsin A42sin 602.5(必修5P14例5改编)如图，
5、设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，BAC，ACB，则A，B两点间的距离为(C)A. BC D解析ABC()，由正弦定理得AB，故选C.题组三走向高考6(2020课标理，7,5分)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B(A)A. B C D解析由cos C得，AB3，cos B，故选A.7(2019全国卷，5分)在ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B .解析解法一：依题意与正弦定理得sin Bsin Asin Acos B0，即sin Bcos B，则tan
6、B1.又0B，所以B.解法二：由正弦定理得bsin Aasin B，又bsin Aacos B0，所以asin Bacos B0，即sin Bcos B，则tan B1.又0B0，故cos B0，B为钝角如图，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，则CEbsin BAC，BEacos ABC，故BECE.又CEAB，所以CBE，ABC.8(2019全国卷，5分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为 6.解析解法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面
7、积Sacsin B42sin 6.解法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.考点突破互动探究考点一利用正、余弦定理解三角形自主练透例1 (1)(2020东北师范大学附属中学模拟)在ABC中，a1，A，B，则c(A)A. B C D(2)(2020河南南阳期中)在ABC中，a8，b10，A45，则此三角形解的情况是(B)A一解 B两解C一解或两解 D无解(3)(2020百校联盟第二次联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin A3sin
8、 B，c，且cos C，则a(B)A2 B3 C3 D4(4)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则等于(A)A6 B5 C4 D3解析(1)解法一：sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，由正弦定理得c，故选A.解法二：由正弦定理，得b，则cos Ccos(AB)(cos Acos Bsin Asin B).由余弦定理可得，c.故选A.(2)因为bsin 45580)，结合余弦定理有：cos C，求解关于实数m的方程可得m1，则a3m3.(4)由正弦定理：asin A
9、bsin B4csin Ca2b24c2a2b24c2.由余弦定理cos A.将代入，消去a2得6.故选A.名师点拨(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在ABC中，已知a1，b2，A60，则sin Bsin A1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”(4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理.考点二利用正、余弦定理判定三角形的形状师生共研例2 (1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别
10、为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为(B)A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为(C)A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形解析(1)解法一：因为bcos Cccos Basin A，由正弦定理知sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A，得sin(BC)sin Asin A.又sin(BC)sin A，得sin A1，即A，因此ABC是直角三角形解法二：因为bcos Cccos Bbca，所以asin Aa，即
11、sin A1，故A，因此ABC是直角三角形(2)因为，所以，所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A，所以ABC是等边三角形名师点拨三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin Asin BAB；sin(AB)0AB；sin 2Asin 2BAB或AB等(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A，cos A等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断(3)注
12、意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要轻易约掉，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练1(1)(2021长春调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C2ccos Ba，且B2C，则ABC的形状是(B)A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形(2)(2021开封调研)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，则ABC的形状是(D)A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析(1)因为2bcos C2ccos Ba，所以2sin Bcos C2sin Ccos
13、Bsin Asin(BC)，即sin Bcos C3cos Bsin C，所以tan B3tan C，又B2C，所以3tan C，得tan C，C，B2C，A，故ABC为直角三角形故选B.(2)解法一：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A.由正弦定理知上式可化为sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin 2Asin 2B，由02A2，02B2，得2A2B或2A2B，即AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形故选D.解法二：同解法一可得2a2cos Asin B2b2sin
14、 Acos Ba2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(a2b2c2)0，ab或a2b2c2，ABC为等腰三角形或直角三角形故选D.考点三与三角形面积有关的问题师生共研例3 (2019全国卷，12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解析(1)由题设及正弦定理得sin Asin sin Bsin A因为sin A0，所以sin sin B由ABC180，可得sin cos ，故cos 2sin cos .因为cos 0，故sin ，因此B60.(2)由题设
15、及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.名师点拨三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练2(2020课标，18,12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B150.(1)若ac，b2，求ABC的面积；(2)若sin Asin C，求C.解析(1)由题设及余弦定理得283c2c22
16、c2cos 150.解得c12(舍去)，c2 2，从而a2.ABC的面积为22sin 150.(2)在ABC中，A180BC30C，所以sin Asin Csin(30C)sin Csin(30C)故sin(30C).而0C30，所以30C45，故C15.考点四解三角形应用举例师生共研例4 (2021济南模拟)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征，李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80.则李明同学求出泉标的高度为 38 m.(精确到1 m)解析如图所示，
17、点C，D分别为泉标的底部和顶端依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，则ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD中，根据正弦定理，.BD38.5(m)在RtBCD中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.名师点拨解三角形的实际应用问题的类型及解题策略求距离、高度问题(1)选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于
18、计算的定理求角度问题(1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用变式训练3 (1)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则sin 的值为 .(2)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的
19、海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，求A，B两点的距离解析 (1)如图，连接BC，在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos 120700，BC10.再由正弦定理，得，sin .(2)作出示意图，如图，在ACD中，ACD15，ADC150，DAC15.由正弦定理，得AC40()，在BCD中，BDC15，BCD135，DBC30，由正弦定理，可得BC40()在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB1 600(84
20、)1 600(84)21 600()()1 60020，解得AB80，A，B两点的距离为80.名师讲坛素养提升三角形中的实际测量问题角度1测量距离问题例5 如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长分析欲求AB只需解ABC，因为ACB30，所以需求AC、BC.从而需解ACD、BCD.解析在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.在BCD中，由BCD30，BDC105知DBC45，由正弦定理可得，BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A
21、、B两点之间的距离为ABa.名师点拨距离问题的常见类型及解法(1)类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当若图中涉及到多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其它三角形从而求解角度2测量高度问题例6 (2021郑州模拟)如图，一栋建筑物AB的高为(3010)米，在该建筑的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D
22、三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30，则通信塔CD的高为 60 米解析在RtABM中，AM20.如图过点A作ANCD于点N，在RtACN中，因为CAN30，所以ACN60.又在RtCMD中，CMD60，所以MCD30，所以ACM30，在AMC中，AMC105，所以，所以AC6020，所以CN3010，所以CDDNCNABCN3010301060.故填60.名师点拨求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时
23、研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错角度3角度问题例7如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出
24、所需时间分析根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定理求BC，再使用正弦定理求角度解析设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206，解得BC.又，sin ABC，ABC45，故B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得，sin BCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t，解得t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大
25、约需要15分钟名师点拨角度问题的解题方法首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角变式训练4(1)(角度1)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为 900 m.(2)(角度2)(2021衡水
26、模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了600 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为 300 m.(3)(角度3)(2021宜昌模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东 30 (填角度)的方向前进解析(1)由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900，P，Q两点间的距离为900 m.(2)在ACM中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理得，即，解得AC300.在RtACD中，因为tan DAC，所以DCACtan DAC300300(m)(3)设两船在C处相遇，则由题意ABC18060120，且，由正弦定理得，所以sin BAC.又因为0BAC60，所以BAC30.所以甲船应沿北偏东30方向前进
