1、14.2充要条件教材要点要点充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，就记作_此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的_，简称为_显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件状元随笔对于充要条件，要熟悉它的同义语“p是q的充要条件”可以说成“p与q是等价的”“q成立当且仅当p成立”“q成立必须且只需p成立” 基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”表达的意义相同()(2)证明：“p的充要条件是q”，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性()(3)若p是q的充要条件，q
2、是r的充要条件，则p是r的充要条件()(4)已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的充要条件()2“x1”是“x22x10”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3“1x2 ”是“x2 ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4ABC是锐角三角形是ABC为锐角的_条件充要条件的判断例1(1)(多选)下列结论中，正确的有()Ax24是x38的不充分条件B在ABC中，AB2AC2BC2是ABC为直角三角形的充要条件C若a，bR，则“a2b20 ”是“a，b不全为0 ”的充要条件Dx，y均为奇数是xy为偶数的必要不充分条件
3、(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：s是q的什么条件？r是q的什么条件？p是q的什么条件？方法归纳判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q ”以及“若q，则p ”的真假(2)集合法：利用集合的包含关系判断(3)等价法：利用pq与qp的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性跟踪训练1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()Aab0 Bab0Ca2b20 Da2b20(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分
4、条件，但不是乙的必要条件，那么()A丙是甲的充分不必要条件B丙是甲的必要不充分条件C丙是甲的充要条件D丙是甲的既不充分又不必要条件充要条件的证明例2求证：关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.方法归纳充要条件的证明思路1根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明一般地，证明“p成立的充要条件为q ”；(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求2在证明过程中，若
5、能保证每一步推理都有等价性()，也可以直接证明充要性跟踪训练2求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.充要条件的应用例3已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围变式探究本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由方法归纳应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解跟踪训练3已知p：x2或x3，q：4xm0，若p是q
6、的必要不充分条件，求实数m的取值范围易错辨析条件探求中忽视要求致误例4一次函数ymnx1n的图象同时经过第一、三、四象限的一个必要不充分条件是()Am1，且n1 Bmn0Cm0，且n0 Dm0，且n0解析：直线ymnx1n经过第一、三、四象限，mn0，1n0，m0，n0，此为充要条件因此，其一个必要不充分条件为mn0.故选B.答案：B易错警示易错原因纠错心得对条件属性的要求理解不到位，误认为充要条件，错选C.解答此类问题一般先求充要条件，再根据题目条件要求逐一判断课堂十分钟1“(2x1)x0 ”是“x0 ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知集合A1
7、，a，B1，2，3，则“a3 ”是“AB ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3“x2(y2)20 ”是“x(y2)0 ”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4函数yx22xa的图象与x轴无交点的充要条件是_5求方程ax22x10至少有一个负的实数根的充要条件14.2充要条件新知初探课前预习要点pq充分必要条件充要条件基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：A3答案：A4答案：充分不必要题型探究课堂解透例1解析：(1)A中，x24x2x38，但x34.A正确；B中，AB2AC2BC2ABC为直角三角形，反之不一定，
8、B不正确；C中，a2b20a，b不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数xy为偶数，反之不一定，D不正确故选AC.(2)q是r的必要条件，rq.s是r的充分条件，sr，srq，又q是s的充分条件，qs.s是q的充要条件由rq，qsr，知r是q的充要条件p是r的必要条件，rp，qrp.p是q的必要条件答案：(1)AC(2)见解析跟踪训练1解析：(1)a2b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.故选D.(2)如图所示，甲是乙的必要条件，乙甲又丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，丙乙，但乙D丙综上，有丙乙甲，甲D丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件故选A.答案：(1
9、)D(2)A例2证明：充分性：由ac0及x1x2ca0，x1x2ca0，ac0.综上可知，关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有1-m-2，1+m-2，1+m10，解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|0m3变式探究解析：若p是q的充要条件，则-2=1-m，10=1+mm不存在故不存在实数m，使得p是q的充要条件跟踪训练3解析：设Ax|x3，Bx|x-(m)/(4)，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以m42，即m8.所以m的取值范围为m|m8课堂十分钟1答案：B2答案：A3答案：B4答案：a15解析：当a0时，方程为2x10，x12为一负根当a0时，44a0，且x1x21a0，x1x22a0，方程的两根为一正根、一负根当a0时，由=4-4a0，x1+x2=-2a0，x1x2=1a0，得0a1.综上，所求充要条件是a1.
