1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A32,16B30,15C40,20D36,18【解析】要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L2x(x0)，则L2.令L0，得x16或x16(舍去)此时长为32(米)，可使L最短【答案】A2将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A2和6B4和4C3和5D以上都不对【解析】设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3
2、(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小【答案】B3内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为() 【导学号：05410026】A.和RB.R和RC.R和RD以上都不对【解析】设矩形的宽为x，则长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得x1R，x2R(舍去)当0x0；当RxR时，l0，所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.【答案】B4某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)
3、则总利润最大时，每年生产的产品是()A100B150C200D300【解析】由题意，得总成本函数为C(x)20 000100x，总利润P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大【答案】D5用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图1312)，当容器的体积最大时，该容器的高为()图1312A8 cmB9 cmC10 cmD12 cm【解析】设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 3
4、20x(0x24)，因为V(x)12x2552x4 320，由12x2552x4 3200，得x10或x36(舍)，因为当0x0，当10x24时，V(x)0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800米【答案】8007已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为_【解析】由题意，设矩形边长AD2x，则AB4x2，矩形面积为S2x(4x2)8x2x3(0x2)S86x2.令S0，解得x1 ，x2 (舍去)当0x0；
5、当 x2时，S0)所以yx.令y0，解得x20.因为当x(0,20)时，y0，此时函数单调递增，所以当x20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小【答案】20三、解答题9如图1313，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1313【解】 设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(82x) cm，宽为(52x) cm，V(82x)(52x)x4x326x240x，V12x252x40，令V0，得x1或x(舍去)，V极大V(1)18，在定义域内仅有一个极大值，
6、所以V最大值18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大10(2016银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】设每次进书x千册(0x0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元【答案】D2要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高应为() 【导学号：05410027】A. cm B. mC5
7、 m D. m【解析】如图，设圆锥底面半径为r，高为h，则h2r2202.所以r，所以圆锥体积Vr2h(400h2)h(400hh3)，所以V(4003h2)，令V0，得h或h(舍去)当0h0；当h时，V0，f(x)单调递增，x时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x时，f(x)取最大值.【答案】4(2016广州高二检测)如图1315所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？图1315【解】设C点距D点x km，则AC50x(km)，所以BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0，解得x30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x30 km处取得最小值，此时AC50x20(km)故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省
