1、2.4.2抛物线的简单几何性质（检测教师版）(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A.x2=3y B.y2=6xC.x2=12yD.x2=6y【解析】选C.依题意知抛物线方程为x2=2py(p0)的形式,又=3,所以p=6,2p=12,故方程为x2=12y.2.抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12【解析】选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,由条件知P到y轴距离为4,所以点P的横坐标xP=4.根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.3.
2、抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P的坐标为()A.B.C.D.【解析】选B.y2=x的准线为x=-,焦点为,设P(x1,y1),由抛物线定义知x1+=2,所以x1=2-=.由=,得y1=.4.设抛物线y2=2x与过其焦点F的直线交于A,B两点,则的值是()A.B.-C.3D.-3【解析】选B.特例法,F,取A,B的横坐标为,不妨令A,B,所以=-1=-.5.若动圆的圆心在抛物线x2=12y上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点()A.(0,2)B.(0,-3)C.(0,3)D.(0,6)【解析】选C.直线y+3=0为抛物线的准线,由抛物线定义知圆心到直线y=-3的距离与到点(0
3、,3)的距离相等,因此此圆恒过定点(0,3).二、填空题(每小题5分，共15分)6.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.【解析】由抛物线y2=2px (p0),得焦点F的坐标为,则FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得,2p=1,所以p=,所以B点到准线的距离为+=p=.答案:7.设A,B是抛物线y=-x2上的两个动点,且|AB|=6,则AB的中点M到x轴的距离的最小值为.【解析】当线段AB过抛物线的焦点时,AB的中点M到x轴的距离最小.因为|AB|=6,结合抛物线的定义知,A,B两点到准线的距离之和为6,所以中点
4、M到准线的距离为3,另抛物线y=-x2化为x2=-4y,其准线方程为y=1,则AB的中点M到x轴的距离的最小值为2.答案:28.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的中点坐标是.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程与抛物线方程得方程组整理得x2-8x+4=0,所以x1+x2=8,y1+y2=x1+x2-4=4,所以线段AB的中点坐标为(4,2).答案:(4,2)三、解答题(每小题10分，共10分)9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p0),设A(x0,y0),由题知M.因为|AF|=3,所以y0+=3,因为|AM|=,所以+=17,所以=8,代入方程=2py0得,8=2p,解得p=2或p=4.所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
