1、1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特点：由特殊到特殊的推理(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推
2、理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是 1,2,3
3、，那么这个数列的通项公式是 ann(nN*)()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10等于()A28B76C123D199答案 C解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.2下面几种推理过程是演绎推理的是()A在数列an中，a11，an12(an1 1an1)(n2)，由此归纳数列an的通项公式B由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C两直线平行，同旁内角互补，如果A 和B 是两条平
4、行直线与第三条直线形成的同旁内角，则AB180D某校高二共 10 个班，1 班 51 人，2 班 53 人，3 班 52 人，由此推测各班都超过 50 人答案 C解析 A、D 是归纳推理，B 是类比推理，C 符合三段论模式，故选 C.3(2017济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是_答案 解析 显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂
5、直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交4(教材改编)在等差数列an中，若 a100，则有 a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若 b91，则存在的等式为_答案 b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，b29b1nb17n，可知存在的等式为 b1b2bnb1b2b17n(naf(b)bf(a)(1)试证明：f(x)为 R 上的单调增函数；(2)若 x，y 为正实数且4x9y4，比较 f(xy)与 f(6)的大小(1)证明 设 x1，x2R，且 x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x
6、2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)f(x)为 R 上的单调增函数(2)解 x，y 为正实数，且4x9y4，xy14(xy)(4x9y)14(134yx 9xy)14(1324yx 9xy)254，当且仅当4yx 9xy，4x9y4，即x52，y154时取等号，f(x)在 R 上是增函数，且 xy254 6，f(xy)f(6)思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提(1)某国家流传
7、这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误(2)(2016洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案(1)C(2)B解析(1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前
8、提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误(2)A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故 A 错误；C、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以 C、D 都不正确，只有 B 正确，故选 B.10高考中的合情推理问题考点分析 合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立
9、的缘由，再去类比另一类问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3,6,10，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 014 是数列an的第_项；b2k1_.(用 k 表示)(2)设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 yf(x)满足：()Tf(x)|xS；()对任意 x1，x2S，当 x1x2 时，恒有 f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是_AN*，BN；Ax|1x3，Bx|x8 或 0
10、 x10；Ax|0 x1，BR；AZ，BQ.解析(1)an12nnn12，b1452 a4，b2562 a5，b39252a9，b425112a10，b514352a14，b635162a15，b2 0142 01425 2 0142512a5 035.由知 b2k12k11251 2k112525k5k12.(2)对于，取 f(x)x1，xN*，所以 AN*，BN 是“保序同构”的，故排除；对于，取 f(x)8，x1，x1，1x0，x21，0 x3，所以 Ax|1x3，Bx|x8 或 0 x10是“保序同构”的，故排除；对于，取 f(x)tan(x2)(0 x1)，所以 Ax|0 x0，那么
11、这个演绎推理出错在()A大前提B小前提C推理过程D没有出错答案 A解析 推理形式正确，但大前提错误，故得到的结论错误故选 A.2下列推理是归纳推理的是()AA，B 为定点，动点 P 满足|PA|PB|2a|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆B由 a11，an3n1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式C由圆 x2y2r2 的面积 r2，猜想出椭圆x2a2y2b21 的面积 SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析 从 S1，S2，S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn，是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理，故应选 B.3正弦函数是奇函数，f(x)sin(x
12、21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确答案 C解析 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误4(2016泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象：246；810121416；18202224262830，按照这样的规律，则 2 016 所在等式的序号为()A29B30C31D32答案 C解析 由题意知，每个等式正偶数的个数组成等差数列 3,5,7，2n1，其前 n 项和Snn32n12n(n2)且 S311 023，即第 31 个等式中最后一个偶数是 1 02322 046，且第 31 个等式中含有 63 个
13、偶数，故 2 016 在第 31 个等式中5给出下列三个类比结论：(ab)nanbn 与(ab)n 类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay 与 sin()类比，则有 sin()sin sin；(ab)2a22abb2 与(ab)2 类比，则有(ab)2a22abb2.其中正确结论的个数是()A0B1C2D3答案 B解析(ab)nanbn(n1，ab0)，故错误sin()sin sin 不恒成立如 30，60，sin 901，sin 30sin 60 34，故错误由向量的运算公式知正确6把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设 aij(i，jN*)是位于这个三
14、角形数表中从上往下第 i 行，从左往右数第 j 个数，如 a428，若 aij2 009，则 i 与 j 的和为_答案 107解析 由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以 2 009 为第 1 005个奇数，又前 31 个奇数行内数的个数为 961，前 32 个奇数行内数的个数为 1 024，故 2 009在第 32 个奇数行内，则 i63，因为第 63 行第 1 个数为 296211 923,2 0091 9232(j1)，所以 j44，所以 ij107.7若 P0(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21(ab0)外，过 P0 作椭圆的两条切线的切点分别为 P1
15、，P2，则切点弦 P1P2 所在的直线方程是x0 xa2 y0yb2 1，那么对于双曲线则有如下命题：若 P0(x0，y0)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)外，过 P0 作双曲线的两条切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2所在直线的方程是_答案 x0 xa2 y0yb2 1解析 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1，P2 的切线方程分别是x1xa2 y1yb2 1，x2xa2 y2yb2 1.因为 P0(x0，y0)在这两条切线上，故有x1x0a2 y1y0b2 1，x2x0a2 y2y0b2 1，这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x0 xa
16、2 y0yb2 1 上，故切点弦 P1P2 所在的直线方程是x0 xa2 y0yb2 1.8如图(1)若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M1、M2 与点 N1、N2，则三角形面积之比1122OM NOM NSSOM1OM2ON1ON2.如图(2)，若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP、OQ 和OR 上分别有点 P1、P2，点 Q1、Q2 和点 R1、R2，则类似的结论为_答案 1 1 1222O PQ RO P Q RVVOP1OP2OQ1OQ2OR1OR2解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥 P1OR1Q1 及三棱锥 P2OR2Q2 的底面面积之比为OQ1OQ
17、2OR1OR2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP1OP2，故体积之比为1 1 1222O PQ RO P Q RVVOP1OP2OQ1OQ2OR1OR2.9设 f(x)13x 3，先分别求 f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解 f(0)f(1)130 3131 311 3131 3331 3131 3 33，同理可得 f(1)f(2)33，f(2)f(3)33.由此猜想 f(x)f(1x)33.证明：f(x)f(1x)13x 3131x 313x 33x3 33x13x 33x3 33x33x3 33x 33.10数列an的前 n
18、 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2n Sn(nN*)证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn，又S11 10，(小前提)故Snn 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知Sn1n14 Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n12n1 Sn14an(n2)，(小前提)又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)*11.对于
19、三次函数 f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设 f(x)是函数 yf(x)的导数，f(x)是 f(x)的导数，若方程 f(x)0 有实数解 x0，则称点(x0，f(x0)为函数 yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若 f(x)13x312x23x 512，请你根据这一发现，(1)求函数 f(x)的对称中心；(2)计算 f(12 017)f(22 017)f(32 017)f(42 017)f(2 0162 017)解(1)f(x)x2x3，f(x)2x1，由 f(x)0，即 2x10，解得 x12
20、.f(12)13(12)312(12)2312 5121.由题中给出的结论，可知函数 f(x)13x312x23x 512的对称中心为(12，1)(2)由(1)知函数 f(x)13x312x23x 512的对称中心为(12，1)，所以 f(12x)f(12x)2，即 f(x)f(1x)2.故 f(12 017)f(2 0162 017)2，f(22 017)f(2 0152 017)2，f(32 017)f(2 0142 017)2，f(2 0162 017)f(12 017)2.所以 f(12 017)f(22 017)f(32 017)f(42 017)f(2 0162 017)1222 0162 016.
