1、第2课时函数最值的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题知识点一生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程知识点二导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决1用导数解决实际问题的关键是建立函数模型()2恒成立问题可以转化成函数的最值问题()3用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于0或小于等于0.()类型一几何
2、中的最值问题例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题解设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x20，y25.两栏的面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyx25x，S2525.令S0，得x140，令S0，得20x140.函数在(140，)上是增加的，在(20,140)上是减少的，S(x
3、)的最小值为S(140)当x140时，y175.即当x140，y175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值跟踪训练1把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解设箱底边长为x，则箱高为h(0xa)，箱子的容积为V(x)x2s
4、in 60hax2x3(0x0；当x时，V(x)ln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a知，f(x)ex2，xR，令f(x)0，得xln 2.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)在区间(，ln 2)上是减少的，在区间(ln 2，)上是增加的，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为2(1ln 2a)，无极大值(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，由(1)知g(x)的最小值为2(1ln 2a)，当aln 21时，g(x)0，故g(x)在R上
5、是增加的，所以x0时g(x)g(0)0，即exx22ax1.反思与感悟利用函数的最值证明不等式常用的方法与步骤(1)构造函数(2)利用导数确定函数的单调性、最值(或值域)(3)将其归结为函数的最值或值域问题(4)证明函数yf(x)的最大(小)值大于0或小于0，或逆用单调性定义得出结论跟踪训练2证明：当x0,1时，xsin xx.证明记F(x)sin xx，则F(x)cos x.当x时，F(x)0，F(x)在上是增加的；当x时，F(x)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin xx.记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10，所以H(x)在0,1上是减少的，则H(x)H
6、(0)0，即sin xx.综上，xsin xx，x0,1类型三与最值有关的恒成立问题例3已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间(2)若对任意x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因为f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间为和(1，)；递减区间为.(2)由(1
7、)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.故c的取值范围为(，1)(2，)反思与感悟解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使mf(x)恒成立，只需mf(x)的最大值即可，同理，要使mf(x)恒成立，只需m1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增加的，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，1.1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大的年利润的
8、年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案C解析x0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9，当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，当t(8,9)时，y0)令S2a0，得a8.当0a8时，S8时，S0，故当a8时，S最小，此时h4.4要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案160解析设底面长为x，由题意得底面宽为.设总造价为y，则y20x101，即y20x80，y20，
9、令y0，得x2.当x2时，ymin160(元)5已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 22解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex与ya有交点，而g(x)2ex，可知函数g(x)2xex在(，ln 2)上是增加的，在(ln 2，)上是减少的，所以g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex与ya有交点，只需a2ln 22即可1正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意(1)合理选择变量，正确给出函数表达式(2)与实际问题相联系(3)必要时注意分类讨论思想的应用2“
10、恒成立”问题可转化为函数最值问题一、选择题1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B.C1 D8考点函数类型的优化问题题点有关函数类型的其他问题答案C解析原油温度的瞬时变化率f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2若x0，)，则下列不等式恒成立的是()Aex1xx2B.1xx2Ccos x1x2Dln(1x)xx2答案C解析设f(x)cos xx21，则f(x)sin xx0(x0)，f(x)在0，)上是增加的，f(x)f
11、(0)0，故cos x1x2.3若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为()A. B.C. D2考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题答案C解析设底面边长为x，则表面积Sx2V(x0)S(x34V)令S0，得x.可判断得当x时，直棱柱的表面积最小4用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为()A120 000 cm3 B128 000 cm3C150 000 cm3 D158 000 cm3考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案B解析设水箱底边长为x cm，则水箱高h6
12、0(cm)，水箱容积V(x)x2h60x2(0x0)，每月库存货物的运费y2k2x(k20)，其中x是仓库到车站的距离，于是由2，得k120；由810k2，得k2.因此两项费用之和为y，y.令y0，得x5(x5舍去)，此点即为最小值点故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小7某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为p，销售量为q，且销售量q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：q8 300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元C28 000元 D23 000元考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析
13、由题意知毛利润w(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000，w3p2300p11 700，令w0，得p30或p130(舍)只有唯一一个极值点，且是极大值点，当p30时，wmax23 000元8已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则m的取值范围是()Am BmCm Dm2a对实数x1，)恒成立，则a的取值范围是_答案解析设f(x)x3x2，令f(x)3x29x0，得x0或x3.当1x0；当0x3时，f(x)3时，f(x)0，所以当x3时，f(x)取得极小值f(3)，又f(1)，所以f(x)的最小值为，从而f(x)min2a，所以a.三、
14、解答题12一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，则火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)(kx3200)a.由已知条件，得40k203，k，f(x)a.令f(x)0，得x10.当0x10时，f(x)0；当10x0.当x10时，f(x)有最小值，即速度为10 km/h时，总费用最少13已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值
15、；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围解(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极值，1,3是方程3x22axb0的两根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值c5极小值c27而f(2)c2，f(6)c54，当x2,6时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，当c0时，c5454；当c0时，c542c，c BkCk考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案D解析命题等价于当x3,3时，(x2k1)0恒成立，即kx3x2x.设g(x)x3x2x，则g(x)x2x(3x)(1x)由g(x)0，得1x3；由g(x)0，得3x.15求证：ln x(x1)21(1x)3.证明设f(x)ln x(x1)2(x1)31(x0)，即f(x)(x1)2(x1)2(x1)2(x1)2(x1)3.令f(x)0，解得x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，当x1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x0时，f(x)f(1)0.所以ln x(x1)21(1x)3.
