1、山西大学附中2014年高三第一学期月考数学试题（理） 考查内容：高中全部 一选择题（512=60分）1.已知集合,集合,则=（ ）A. B. C. D. 2设等差数列的前项和为，则等于（ ）A10 B12 C15 D303已知函数则 ( )A. B. C. D. 4下列命题错误的是( )A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为则”；B. 若命题，则；C. 中，是的充要条件；D. 若向量满足，则与的夹角为钝角.5.右图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D.6. ( )A B. C. D.视的值而定 7. 曲线在点（1，-1）处的切线方程为（
2、 ）A. B. C. D. 8若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是( )A B C或 D或9. 已知函数为偶函数，其图象与直线的某两个交点的横坐标为，若|的最小值为，则（ ）A. B. C. D. 10. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A.1 B. 2C.3 D. 411已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（ ）A B C D12已知函数的最小值为（ ）A6 B8 C9 D12二填空题(54=20分)13已知复数满足，则_.14已知，的夹角为60，则 15. 设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分
3、别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为 .16已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，则实数的取值范围是 三解答题(写出必要的文字说明和解答过程，共70分)17（本小题满分12分）公差不为零的等差数列中，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式18（本小题满分12分）甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率19（本小题满分
4、12分）第19题图在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上（）求证：平面；（）求二面角的余弦值20（本小题满分12分）椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率21.(本小题满分12分) 设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，其图像上任意一点P处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围。选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）22（本小题满分10分）选修41：几何证
5、明选讲：如图所示，已知与相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且第22题图（）求证：；（）若，求的长23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲：已知函数（）求不等式的解集；（）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围山西大学附中2014年高三第一学期月考数学试题（理）答案一选择题（512=60）ACCDBACDABCB 二
6、填空题（54=20） 三解答题(共70分)17（本小题满分12分）解: () 6分 () 12分18（本小题满分12分）解：（）设乙答题所得分数为，则的可能取值为1分 ； ； 5分乙得分的分布列如下： 6分 7分（）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.则 ， 9分 11分故甲乙两人至少有一人入选的概率 12分19（本小题满分12分）解：（）由题意知，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，2分又平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，易求得，4分四边形是平行四边形，平面 6分（）解法一：作，垂足为，连接，平面，又，平面，就是二面角的平面角9分中，即二面角
7、的余弦值为.12分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则，可求得9分所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为12分20. （本小题满分12分）（）由已知，又，解得，所以椭圆的方程为；4分() 根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，消去y得，令，解得 7分设、两点的坐标分别为，）当为直角时，则，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得9分）当或为直角时，不妨设为直角，此时，所以，即又将代入，消去得，解得或（舍去），将代入，得所以，经检验，所求k值均符合题意。 11分 综上，k的值为和 12分22. （本小题满分10分）解：（）,2分又, ,， ， 4分又，5分（）, ， 由（1）可知：，解得.7分 是的切线，解得10分23（本小题满分10分）解：（）由，得所以曲线C的直角坐标方程为.5分（）将直线的参数方程代入，得.设、两点对应的参数分别为、，则， ，当时，的最小值为4. 10分24（本小题满分10分）解：（）原不等式等价于或 解得：.即不等式的解集为 5分（）不等式等价于，因为，所以的最小值为4，于是即所以或10分
