1、第二章 平面向量24 平面向量的数量积24.1 平面向量数量积的物理背景及其含义内 容 标 准学 科 素 养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.学会数学建模应用数学抽象提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义阅读教材 P103104，思考并完成以下问题一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图(1)如何计算这个力所做的功？提示：W|F|s|cos.(2)力做功的大小与哪些量有
2、关？提示：力的大小，位移的大小及两者的夹角知识梳理(1)平面向量数量积的定义条件 非零向量 a 与 b，a 与 b 的夹角为 结论 数量_叫向量 a 与 b 的数量积(或内积)记法 向量 a 与 b 的数量积记作_，即_规定 零向量与任一向量的数量积为_|a|b|cos abab|a|b|cos 0(2)数量积的几何意义投影的概念b 在 a 的方向上的投影为_，a 在 b 的方向上的投影为_数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与_的乘积|b|cos|a|cos b在a上的投影知识点二 平面向量数量积的性质思考并完成以下问题向量的数量积与向量的线性运算结果有什么区别？(1)若|
3、a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为 0.ab_，ab_提示：ab23cos 06，而 ab 其大小为 5，方向与 a 同向(2)若|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为 180.ab_，ab_提示：ab23cos 1806，ab 的大小为 1，方向与 b 同向(3)非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？提示：数量积可为正数，负数，零，是一个实数，其符号由夹角的余弦值确定知识梳理 设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为，(1)abab0.(2)当 ab 时，ab，a与b同向，a与b反向.(3)aa_或|a|_(4)cos _(5)|ab|_|a|b|.
4、|a|b|a|b|a2a2ab|a|b|知识点三 平面向量数量积的运算律思考并完成以下问题类比实数乘法的运算律，可得出哪些数量积的运算律？判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确？运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律abbaabba_结合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)_分配律(ab)cacbc(ab)cacbc_消去律abbc(b0)acabbc(b0)ac_提示：正 误 正 误知识梳理(1)ab_(交换律)(2)(a)b_(结合律)(3)(ab)c_(分配律)baabbaacbc自我检测1已知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为3，则 ab 等于()A1 B2C3 D4答
5、案：A2已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量 b 在 a 方向上的投影为()A4 B4C2 D2答案：D探究一 平面向量数量积的计算教材 P104 例 1方法步骤：(1)求模；(2)求向量夹角；(3)求数量积例 1(1)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则AB AD 的值是_.解析 由CP3PD，得DP 14DC 14AB，APAD DP AD 14AB，BPAPAB AD 14AB AB AD 34AB.因为APBP2，所以AD 14AB AD 34AB 2，即AD 212AD AB 316AB 22.又AD 225，AB 264，所以A
6、B AD 22.答案 22(2)已知|a|3，|b|6，当ab；ab；a 与 b 的夹角是 60时，分别求 ab.解析 当 ab 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角为 0，ab|a|b|cos 036118.若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180，ab|a|b|cos 18036(1)18.当 ab 时，它们的夹角为 90，ab0.当 a 与 b 的夹角是 60时，ab|a|b|cos 6036129.(3)已知|a|10，|b|4，a 与 b 的夹角 120.求：ab；(a2b)(ab)；(ab)2.解析 ab|a|b|cos 12010412 20.(a2b)(ab)a2ab2a
7、b2b2a2ab2b2|a|2|a|b|cos 1202|b|210010412 24288.(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos 120|b|2100210412 421004016156.方法技巧 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 ab|a|b|cos.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求 ab.延伸探究 1.将本例(3)改为：如图所示，在ABCD 中，|AB|4，|A
8、D|3，DAB60，求：(1)AD BC；(2)AB CD；(3)AB DA；(4)AB 在CB 方向上的投影解析：(1)AD BC，且方向相同，AD 与BC 的夹角是 0，AD BC|AD|BC|cos 03319.(2)AB CD，且方向相反，AB 与CD 的夹角是 180，AB CD|AB|CD|cos 18044(1)16.(3)AB 与AD 的夹角为 60，AB 与DA 的夹角为 120，AB DA|AB|DA|cos 1204312 6.(4)AB 与AD 的夹角为 60，而CB 与AD 方向相反，AB 与CB 的夹角为 120，AB 在CB 方向上的投影为|AB|cos 1204
9、12 2.探究二 平面向量数量积有关的参数问题教材 P105 例 4方法步骤：利用数量积转化为参数的方程或不等式例 2 已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 60，c3a5b，dma3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直解析 由已知得 ab32cos 603.若 cd，则 cd0，cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m2914，即当 m2914时，c 与 d 垂直方法技巧 利用题意，构造数量积，若垂直，有数量积为 0，建立参数的等式或方程跟踪探究 1.已知菱形 ABCD 的边长为 6，ABD30，点 E，F 分别在边 BC
10、，DC 上，BC2BE，CDCF.若AE BF 9，则 的值为()A2 B3 C4 D5解析：依题意得AE AB BE 12BC BA，BF BC 1BA，因此AE BF 12BC BA BC 1BA 12BC 21BA 2121 BC BA，于是有121 6212162cos 609，由此解得 3.故选 B.答案：B探究三 利用数量积求向量的模、夹角教材 P108 习题第 6 题设|a|12，|b|9，ab54 2，求 a 与 b 的夹角.解析：cos ab|a|b|54 2129 22，00，34.角度 1 向量的夹角问题例 3 若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3
11、a2b)，则 a 与 b 的夹角为()A.4 B.2C.34D解析 由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即 3a2ab2b20.又|a|2 23|b|，设a，b，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，83|b|22 23|b|2cos 2|b|20.cos 22.又0，4.答案 A方法技巧(1)求向量的夹角，主要是利用公式 cos ab|a|b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角可以直接求出 ab 的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，ab 三者之间的关系，然后代入求解(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解(3
12、)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是0，延伸探究 2.将本例改为：a(ab)，其他已知条件不变，求 a 与 b 的夹角的余弦值解析：a(ab)，a(ab)0，|a|2ab0，89|b|22 23|b|2cos 0，cos 2 23.角度 2 求向量的模例 4(1)已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值；(2)如图，已知在ABCD 中，AB3，AD1，DAB3，求对角线 AC 和 BD 的长解析(1)|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，又|3a2b|5，32512ab25，则 ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb2925625
13、25400.故|3ab|20.(2)设AB a，AD b，则|a|3，|b|1，a 与 b 的夹角 3.ab|a|b|cos 32.又AC ab，DB ab，|AC|AC 2（ab）2 a22abb2 13，|DB|DB 2（ab）2 a22abb2 7.AC 13，BD 7.方法技巧 求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用 a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2 或|a|a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2 等跟踪探究 2
14、.已知|a|b|5，向量 a 与 b 的夹角 为3.求|ab|，|ab|.解析：ab|a|b|cos 5512252.|ab|（ab）2|a|22ab|b|2252252 255 3.|ab|（ab）2|a|22ab|b|2252252 255.课后小结1两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当 a0，b0，090时)，也可以为负(当 a0，b0，90180时)，还可以为 0(当 a0或 b0 或 90时)2数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc 是一个与 c 共线的向量，而 a(bc)a|b|c|cosb，c是一个与 a 共线的向量，两
15、者一般不同3求投影有两种方法(1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos(为 a，b 的夹角)，a 在 b 方向上的投影为|a|cos.(2)b 在 a 方向上的投影为ab|a|，a 在 b 方向上的投影为ab|b|.4两非零向量 a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|a2.素养培优1忽视向量夹角范围致错典例 若向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是_易错分析 两个向量所成角的范围是0，两个向量所成的角为钝角，误认为所成角 为钝角，导致所求的结果范围扩大自我纠正 解析 2a3b(2k3，6)，c(2，1)，又 2a
16、3b 与 c 的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2，1)0，解得 k3.若(2a3b)c，则 2k312，即 k92.当 k92时，2a3b(12，6)6c.即 2a3b 与 c 反向综上，k 的取值范围为，92 92，3.答案，92 92，32求错两向量夹角位置典例 如图，设正三角形 ABC 的边长为 2，AB c，BC a，CA b，则 abbcca_易错分析 a，b120，错写为 60，b，c120，错写为 60，c，a120，错写为 60.自我纠正 解析|a|b|c|2，且 a 与 b、b 与 c、c 与 a 的夹角均为 120，abbcca 2 2cos 12033.答案 33向量在另一向量的投影的概念理解错典例 已知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为23，则 b 在 a 上的投影为_易错分析 将投影理解为线段长度自我纠正 解析 bcos232cos231.答案 1课时 跟踪训练
