1、第1章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022贵州毕节威宁高一期末)数列3,3,15,21,则39是这个数列的第()A.8项B.7项C.6项D.5项2.已知数列an是公比为q的等比数列.若2a1=a3a4,且a5是a4与2的等差中项,则q的值是()A.1B.2C.-1或1D.-2或23.在等差数列an中,若a2+a6=10,a5=9,则a10=()A.20B.24C.27D.294.Sn为等比数列an的前n项和,a10,S53a1+a2+a4,则公比q的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,1)D.
2、(-1,0)(0,1)5.已知两个等比数列an,bn的前n项积分别为An,Bn.若a3b3=3,则A5B5=()A.3B.27C.81D.2436.设等差数列an的前n项和是Sn.若a2-a110且S120B.S110且S120且S120D.S1107.已知数列an,若a1=1,且an=2an-1-1,n为偶数,2an-1+2,n为奇数,则a5=()A.7B.13C.16D.228.(2022北京西城高二期末)记Sn为数列an的前n项和.若an=n(8-n)(nN+),则()A.an有最大项,Sn有最大项B.an有最大项,Sn有最小项C.an有最小项,Sn有最大项D.an有最小项,Sn有最小项
3、二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022江苏南通高二期末)已知数列an的前n项和是Sn,则下列说法正确的有()A.若Sn=2n,则an是等差数列B.若Sn=2an-1,则an是等比数列C.若an是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列D.若an是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列10.(2022辽宁阜新高二期末)已知在等比数列an中,满足a1=1,公比q=-3,则()A.数列3an+an+1是等比数列B.数列an+1-an是等差数列C.数列
4、anan+1是等比数列D.数列log3|an|是等差数列11.对于数列an,若存在正整数k(k2),使得akak-1,ak1609an,求n的最小值.21.(12分)(2022江苏南通高二月考)在等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任意两个数不在下表的同一列.项目第一列第二列第三列第一行2310第二行9414第三行81827(1)求数列an的通项公式;(2)记bm为数列an在区间(0,m(mN+)中的项的个数,求数列bm的前100项的和.22.(12分)(2022湖南三湘名校联盟高二期中)已知在数列an中,其前n项和为Sn=2n2-n.(
5、1)求数列an的通项公式;(2)anan+1=1bn,数列bn的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.参考答案第1章测评1.B因为这个数列的前4项为3,3+6,3+26,3+36,由此得到它的一个通项公式an=6n-3,令6n-3=39,得n=7,因此39为这个数列的第7项.故选B.2.A数列an是公比为q的等比数列,2a1=a3a4,且a5是a4与2的等差中项,2a1=a1q2a1q3,2a1q4=a1q3+2,解得a1=2,q=1.q的值为1.3.D设an的公差为d,则a2+a6=2a1+6d=10,a5=a1+4d=9,解得a1=-7,d=4,所以a10=a1+9d=-7+36=29.4.C
6、由S5=a1(1+q+q2+q3+q4)0,得q4+q2-20,则0q21,又q0,解得-1q0或0q1.故选D.5.D根据题意,A5=a1a2a3a4a5=(a3)5,B5=b1b2b3b4b5=(b3)5,故A5B5=a35b35=35=243.故选D.6.A设等差数列的公差为d,由a2-a11a1,可得a1+d-a1-10d-5d0,a2+a110,a1+a120,S12=12(a1+a12)20,故选A.7.C数列an满足a1=1,且an=2an-1-1,n为偶数,2an-1+2,n为奇数,则a2=2a1-1=1,a3=2a2+2=4,a4=2a3-1=7,a5=2a4+2=16.故选
7、C.8.A对于二次函数y=-x2+8x,其图象开口向下,对称轴为直线x=4,即当x=4时,y=-x2+8x取得最大值.对于an,当n=4时,an最大;且当1n0,当n=8时,an=0,当n8时,an0,故当n=7或8时,Sn最大,故an有最大项,Sn有最大项.故选A.9.ABD若Sn=2n,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(n-1)=2,当n=1时,a1=S1=2也适合上式,故an=2,所以数列an是等差数列,故选项A正确;若Sn=2an-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,整理可得an=2an-1,所以anan-1=2(n2),
8、所以数列an是等比数列,故选项B正确;若an是等比数列,当q=-1时,an=a1(-1)n-1,当n为偶数时,则有Sn=0,S2n-Sn=0,S3n-S2n=0,不构成等比数列,故选项C错误;若an是等差数列,则Sn=a1+a2+an,S2n-Sn=an+1+an+2+a2n=Sn+nd,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a3n=Sn+2nd,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,故Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,故选项D正确.故选ABD.10.CD3an+an+1=3an-3an=0,数列3an+an+1是常数列,故A错误;an+1-an=(-3)n-(-3)n-
9、1=43(-3)n,an+1-an是等比数列,故B错误;anan+1=(-3)n-1(-3)n=(-3)2n-1,anan+1是等比数列,故C正确;log3|an|=log3|(-3)n-1|=n-1,log3|an|是等差数列,故D正确.故选CD.11.ADan=n+9n-8,故a1=2,a2=32,a3=2,a4=74,a5=65,a6=12,a7=27,a8=98.故a2a2,a3a2,故2是“谷值点”;a6a7,a8a7,故7是“谷值点”;a60,解得q=2,所以an+1an=q=2,故A正确;Sn=a1-anq1-q=2an-a1=an+1-a1,故B正确;因为aman=a12qm+
10、n-2=a12m+n-22,所以2m+n-22=4=22,即m+n-22=2,解得m+n=6,mn不一定等于8,故D正确,C错误.故选ABD.13.0因为a1q2=-12,a1+a1q+a1q2=-12,所以q=-1,a5+a6=0.14.an=n2a1+a2+an=n(n+1)2,a1+a2+an-1=n(n-1)2(n2),两式相减得an=n(n+1)2-n(n-1)2=n,an=n2(n2).又当n=1时,a1=122=1,适合上式,an=n2.15.27因为数列an是等比数列,所以a2a10=a62,又a2a10=6a6,所以a62=6a6,解得a6=6,所以b4+b6=6.因为数列b
11、n是等差数列,所以数列bn的前9项和为(b1+b9)92=(b4+b6)92=692=27.16.820由于数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,故有a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a7+a6=11,从而可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,.故an的前40项和为102+108+109216=820.17.解若选.(1)设an的公差为d,则a8=a1+7d=4,S11=11a1+55d=-22,解得a1=-17,d=3.所以a
12、n=a1+(n-1)d=3n-20.令3n-20=2022,得n=20423N+,所以2022不是数列an中的项.(2)令an=3n-200,解得n203.所以当n6时,an0,得n6.所以当n6时,an0.故当n=6或n=5时,Sn取到最小值,为S5=S6=-30.18.解(1)设an的公差为d,由已知得a1+2d=6,8a1+8(8-1)2d=72,解得a1=2,d=2,则an=2n.(2)bn=an+3n=2n+3n,Tn=2(1+2+n)+(31+32+3n)=n(n+1)+3n+1-32=3n+12+n2+n-32.19.解(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)
13、2-2(n-1)=2n+1,当n=1时,a1=S1=3,符合上式.故an的通项公式为an=2n+1.(2)an=2n+1,bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3,Tn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=1213-12n+3=n6n+9.20.解(1)等比数列an是递增数列,且a1+a5=17,a2a4=16,a1a5=a2a4=16.设数列an的公比为q(q1),由a1+a5=17,a1a5=16,解得a1=1,a5=16或a1=16,a5=1(舍).又a5=a1q4,q=2.(2)Sn=a1(1-qn)1-q=1-2n1-2=2n-1,
14、S2n=22n-1.S2n1609an,9(22n-1)802n,即(92n+1)(2n-9)0,2n-90.又nN+,正整数n的最小值为4.21.解(1)由题意结合表中数据可得a1=3,a2=9,a3=27,所以等比数列an的首项为3,公比为3,所以an的通项公式为an=33n-1=3n.(2)由题设及(1)知b1=b2=0,且当3nm3n+1时,bm=n.所以bm的前100项的和S100=(b1+b2)+(b3+b4+b8)+(b9+b10+b26)+(b27+b28+b80)+(b81+b82+b100)=20+61+182+543+204=284.22.解(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-3.当n=1时,a1=1,适合上式.故an=4n-3(nN+).(2)由anan+1=1bn得bn=1anan+1,因此bn=1(4n-3)(4n+1)=1414n-3-14n+1.Tn=141-15+15-19+14n-3-14n+1=141-14n+1=n4n+1.Tn=n4n+1=n+14-144n+1=14-14(4n+1),Tn=14-14(4n+1)在n1,+),nN+上单调递增,当n=1时,Tn取得最小值T1=15.又Tn=14-14(4n+1)14,Tn的取值范围为15,14.
