1、昆明黄冈实验学校2018-2019学年度上学期期末考试高三理科数学试题 第卷 选择题（共60分）一 选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A0B1C2D32.【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=A.1或-1 B. C.- D.3.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A.3 B.2 C.2 D.2 4.函数的最小正周期为A. B. C. D. 5.展开式中的系数为A15B20C30D356.椭圆的离心率是ABCD7.函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数
2、y=f(x)的图像可能是8.已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2 若0p1p2，则A，BC，9.在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A. B. C. D.10.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为ABCD11.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A. B. C. D.12.设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2x D3y2x5z第卷 非选择题（共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向
3、量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 14.函数在的零点个数为_15.函数（）的最大值是 。16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。三解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.18.记为等差数列的前项和，已知，
4、（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值19.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区
5、间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？20.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.21.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C
6、的左焦点F. 22.已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值昆明黄冈实验学校2018-2019学年度上学期期末考试高三理科数学试题参考答案与试题解析第卷 选择题（共60分）二 选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A0B1C2D3【答案】C【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，圆 与直线 相交于两点 ， ，则中有两个元素.故选C.【考点
7、】 交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=A.1或-1 B. C.- D.【答案】A【解析】试题分析：由得，所以，故选A.【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.【名师点睛】复数的共轭复数是，据此结合已知条件，求得的方程即可.3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度
8、为A.3 B.2 C.2 D.2【答案】B【解析】【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. 4.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为A. B. C. D. 【答案】C5.【2017课标1，理6】展开式中的系数为A15B20C30D35【答案】C【解析】试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未
9、能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的不同.6.【2017浙江，2】椭圆的离心率是ABCD【答案】D【解析】试题分析：，选D【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等7.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D【考点】 导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数
10、图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间8.【2017浙江，8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2 若0p1p2，则A，BC，【答案】A【解析】试题分析：，选A【考点】 两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数由已
11、知本题随机变量服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A正确9、【2017山东，理9】在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析： 所以，选A.【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 10.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
12、ABCD【答案】B【解析】 【考点】 圆柱的体积公式【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 11.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1
13、）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为12.【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2x D3y2x5z【答案】D【解析】试题分析：令，则，则，则，故选D.【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.题号123456789101112答案CABCCDDAABBD第卷 非选择题（共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13
14、.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：所以.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.【考点】平面向量的运算.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. 14.【2018年全国卷理】函数在的零点个数为_【答案】【考点】 三角函数的性质和函数的零点【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和
15、函数的零点，属于基础题。15.【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 。【答案】1【解析】【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析。16.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。【答案】6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，
16、做与点，与点，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。题号13141516答案1三解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方
17、程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.【答案】(1) ；(2) 【解析】设,由题设得，消去k得.所以C的普通方程为.【考点】 参数方程与直角坐标方程互化；极坐标中的极径的求解【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.18.【2018
18、年理数全国卷II】记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16【考点】 等差数列的通项公式及最值.【名师点睛】数列是特殊的函数，研究
19、数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.19.【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数21636
20、2574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.【解析】试题分析：(1) 所有的可能取值为200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；(2)由题中所给条件分类讨论可得n=300时，Y的数学期望达到最大值520元.试题解析：（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数
21、据知，.因此的分布列为0.20.40.4【考点】 离散型随机变量的分布列；数学期望；【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1检验分布列的正误. 20.【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)证明略；(2) .【解析】（2
22、）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得 .故【考点】 二面角的平面角；面面角的向量求法【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|=.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. 21.【2017课标II，理】设O为坐标原
23、点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1) 求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 【答案】(1) .(2)证明略。【解析】（2）由题意知。设,则，.由得，又由（1）知，故.所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0。(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直
24、接写出动点的轨迹方程。(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。22.【2017北京，理19】已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.
