1、3.3.3点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们
2、已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B0).图1新知探究提出问题已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)活动：请学生观察上面三种特殊情形中的结论:()x0=0,y0=0时，d=；()x00,y0=0时，d=；()x0
3、=0,y00时，d=.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=?学生应能得到猜想：d=.启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P(,0).PN=. (*)P在直线l1:Ax+By+C1=0上,Ax0+By0+C1=0.C1=-Ax0-By0.代入(*)得|PN|=即d=,.可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.引导学生得到两条平行线l
4、1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，d=.讨论结果：已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.当A=0或B=0时，上述公式也成立.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.应用示例例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=.(2)因为直线3x=2平行于y轴
5、，所以d=|-(-1)|=.点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练 点A(a，6)到直线3x4y=2的距离等于4，求a的值.解:=4|3a-6|=20a=20或a=.例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求ABC的面积.解:设AB边上的高为h，则SABC=|AB|h.|AB|=，AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.点C到x+y-4=0的距离为h=，因此，SABC=5.点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用
6、代数运算解决几何问题的优越性.变式训练 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为xy1=0或7xy5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,d=.点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.变式训练 求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.答案：.解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O(-,
7、)，则直线MO的方程为y-3=x.直线MO与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求，相应的|PO|-|PM|的最大值为|MO|=.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测 导学案当堂检测【板书设计】一、点到直线距离公式二、例题例1变式1例2变式2 【作业布置】课本习题3.3 A组9、10；B组2、4及导学案课后练习与提
8、高 学校-临清实高 学科-数学 编写人张子云 审稿人-周静3.3.3 点到直线的距离 课前预习学案 一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材P117 P119，找出疑惑之处问题1已知平面上两点，则的中点坐标为 ，间的长度为 .问题2在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢?5分钟训练1.点（0，5）到直线y=2x的距离是( )A. B. C. D.2.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为_.3.已知点(a,2)(a0)到直线l：x-y+3=0的距离为1,则a
9、的值等于( )A. B. C. D.参考答案1.解析:根据点到直线的距离公式得.答案：B2.解析:根据两条平行线间的距离公式得=2.答案：23.解析:根据点到直线的距离公式得因为a0，所以.答案：C三 提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标 1理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2会用点到直线距离公式求解两平行线距离3认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立二、学习过程知识点1：已知点和直线，则点到直线的距离
10、为：.注意：点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢并画出图形来.例 分别求出点到直线的距离. 问题2：求两平行线：，：的距离.知识点2：已知两条平行线直线，则与的距离为注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等. 典型例题例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 变式训练 点A(a，6)到直线3x4y=2的距离等于4，求a的值. 例
11、2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求ABC的面积 变式训练 求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习.拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得|PO|-|PM|的值最大，并求出这个最大值.学习小结1. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 课后巩固练习与提高 30分钟训练1.点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为( )A. B. C. D.2.点P(m-n,-m)到直线=1的距离为( )A. B. C. D.3
12、.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )A. B. C. D.24.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合为( )A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=05.若动点A、B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A. B. C. D.6.两平行直线l1、l2分别过点P1(1,0)、P2(1,5),且两直线间的距离为，则两条直线的方程分别为l1：_,l2：_.7.已知直线l过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该
13、直线l的距离为3，求直线l的方程.8.已知直线l过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l的距离相等，求直线l的方程.9.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a0),直线l2：4x-2y-1=0和直线l3：x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值.(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列3个条件:P是第一象限的点；P点到l1的距离是P到l2的距离的；P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是？若能,求P点的坐标;若不能,请说明理由.参考答案1.解析:由点到直线的距离公式可得d=.答案：C 2.解析:nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得.答案：A3.解析:根据题
14、意知|OP|最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得.答案：B4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得m-1=1，解得m=2或m=0.故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0.答案：D5.解析:依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x+y+m=0，根据平行线间的距离公式得m+7=m+5m=-6，即
15、x+y-6=0，根据点到直线的距离公式得：M到原点的距离的最小值为.答案：A6.解析:因P1(1,0)、P2(1,5)间的距离为5，所以两平行直线l1、l2垂直于过P1(1,0)、P2(1,5)的直线，又因过P1(1,0)、P2(1,5)的直线垂直于x轴，所以l1、l2平行于x轴，即方程分别为l1：y=0,l2：y=5.答案：y=0 y=57.解：直线l的斜率不存在时，即方程为x=-2，此时点B(1,-1)到该直线的距离为3，满足条件；直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+2)+3，根据点到直线的距离公式得d=324k=-7k=,即此时直线l的方程为y=(x+2)+37x+24y-58=
16、0.故所求直线的方程为x=-2或7x+24y-58=0.8.解：直线l平行于直线AB时，其斜率为k=kAB=-1，即直线方程为y=-(x-1)+1x+y-2=0；直线l过线段AB的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l的方程为y=1.综上，直线l的方程为x+y-2=0或y=1.9.解：(1)根据题意得：l1与l2的距离d=a=3或a=-4(舍).(2)设P点坐标为(x0,y0),则x00,y00.若P点满足条件,则28x0-4y0+12=4x0-2y0-1,8x0-4y0+12=4x0-2y0-1或8x0-4y0+12=-(4x0-2y0-1)4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0; 若P点满足条件,则2x0-y0+3=x0+y0-1,2x0-y0+3=x0+y0-1或2x0-y0+3=-(x0+y0-1),x0-2y0+4=0或3x0+2=0; 由得解得故满足条件的点P为(-3,)或()或()或().
