1、第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课标要求考情分析1.通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.2.通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：垂直于同一个平面的两条直线平行.两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.3.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1.垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以它是高考的热点，是复习的重点.纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，因此复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力.
2、2.要重视和研究数学思想、数学方法.在本节中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口项目图形条件结论判定ab，b(b 为内的任意一条直线)aam，an，m，n，mnOaab，ab1.直线与平面垂直项目图形条件结论性质a，baba，bab(续表)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面2.平面与平面垂直3.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所成的角等于 0.(2)
3、如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等 于90.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.4.二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.题组一走出误区1.(多选题)已知两条直线 l，m 及三个平面，下列条)件中能推出的是(A.l，lB.l，m，lmC.，D.l，m，lm解析：如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两
4、个平面相互垂直，选项 A 正确；选项 B 正确；如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么另一个平面也垂直这个平面，选项 C 正确；D 选项与可能平行.故选 ABC.答案：ABC题组二走进教材2.(多选题)(必修2P73 第1 题改编)下列命题中正确的是()A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，l，那么 l平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析：对于 D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的.答案：AB
5、C3.(必修2P67 第2 题改编)P 是ABC 所在平面外一点，O是 P 在平面内的射影.若 P 到ABC 的三个顶点距离相等，则O 是ABC 的_心；若 P 到ABC 的三边的距离相等，则 O 是ABC 的_心；若 PA，PB，PC 两两垂直，则 O是ABC 的_心.解析：从射影易得 P 到ABC 的三个顶点距离相等，则O 到ABC 的三个顶点距离也相等即为外接圆圆心；若 P 到ABC 的三边的距离相等，则 O 到ABC 的三边的距离也相等，即为内切圆圆心；若 PA，PB，PC 两两垂直，则 O 为垂心.答案：外内垂题组三真题展现4.(2017 年全国)在正方体ABCDA1B1C1D1中，
6、E为棱CD)B.A1EBDD.A1EAC的中点，则(A.A1EDC1C.A1EBC1答案：C5.(2019 年北京)已知 l，m 是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析：将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果 l，m，则 lm.正确.(2)如果 l，lm，则 m.不正确，有可能 m 在平面内.(3)如果 lm，m，则 l.不正确，有可能 l 与斜交、l.答案：如果 l，m，则 lm考点 1 直线与平面垂直的判定与性质自主练习1.如图 851，PA O 所在平面，AB 是O 的直
7、径，C 是O 上一点，AEPC，AFPB.给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.其中真命题的序号是_.图 851解析：AE平面 PAC，BCAC，BCPA AEBC，故正确；AEPC，AEBC，PB平面 PBCAEPB，AFPB，EF平面 AEFEFPB，故正确；若 AFBCAF平面PBC，则 AFAE，与已知矛盾，故错误；由可知正确.答案：2.(多选题)在三棱锥 DABC 中，ABBCCDDA1，且ABBC，CDDA，M，N 分别是棱 BC，CD 的中点，下面结论正确的是()A.ACBDB.MN平面 ABDC.三棱锥 ACMN 的体积的最大值为D.AD 与 BC 一定
8、不垂直解析：根据题意，画出三棱锥 DABC 如图 D72 所示，取AC 中点 O，连接 OB，OD.图 D72因为 ABBCCDDA1，且 ABBC，CDDA，所以ABC，ADC 为等腰直角三角形，则 ODAC，BOAC，且 ODBOO，则 AC平面 BOD，所以 ACBD，即 A 正确；因为 M，N 分别是棱 BC，CD 的中点，由中位线定理可得 MNBD，而 BD平面 ABD，MN 平面 ABD，所以 MN平面 ABD，即 B 正确；当平面 DAC平面 ABC 时，三棱锥 ACMN 的体积最大，假设 ADBC，由 ABBC，且 ADABA，所以 BC平面 ABD，则 BCBD，又因为 AC
9、BD，且 ACBCC，所以 BD平面 ABC，由 OB平面 ABC，则 BDOB，由题意可知 OBOD，因而 BDOB 不能成立，因而假设错误，即 D 正确.故选 ABD.答案：ABD【题后反思】直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.考点 2 平面与平面垂直的判定与性质师生互动例 1(2020 年江苏)如图 852，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC
10、，B1C 的中点.图 852(1)求证：EF平面 AB1C1；(2)求证：平面 AB1C平面 ABB1.证明：(1)由于 E，F 分别是 AC，B1C 的中点，所以 EFAB1.由于 EF平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EF平面AB1C1.(2)由于 B1C平面 ABC，AB平面 ABC，所以 B1CAB.由于 ABAC，ACB1CC，所以 AB平面 AB1C，由于 AB平面 ABB1，所以平面 AB1C平面 ABB1.【题后反思】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.证明线线垂直，需转化为证明
11、线面垂直.证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【考法全练】(2018 年全国)如图 853，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点 D 的位置，且 ABDA.(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段锥 QABP 的体积.图 853(1)证明：由已知可得，BAC90，BAAC.又 BAAD，所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC.图 D73由已知及(1)可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE1.考点 3 线面所成的角 多维探究例 2
12、(2020 年全国)如图 854，已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.(1)证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F；(2)设O为A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且 AOAB，求直线 B1E 与平面 A1AMN所成角的正弦值.图 854(2)解：如图 855 连接 NP，图 855AO平面EB1C1F，平面AONP平面EB1C1FNP，AONP，根据三棱柱上下底面平行，其平面A1NMA平面ABCAM，平面A1N
13、MA平面A1B1C1A1N，ONAP，故四边形ONPA是平行四边形，设ABC边长是6m(m0)，可得ONAP，NPAOAB6m，【题后反思】(1)证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平面几何知识.(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，线线垂直的证明有时需要利用平面几何条件.(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，再结合三角形可求得线面角.【考法全练】图 D74答案：C解析：方法一，如图 D75，连接 AC 交 BD 于点 O，连接C1O
14、，过点 C 作 CHC1O 于点 H.图 D75答案：A二面角例 3(1)(2018 年浙江)已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点(不含端点)，设 SE 与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC 的平面角为3，则()A.123B.321C.132D.231解析：如图 856 所示，设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 中点，过 E 作 BC 的平行线 EF，交 CD于 F，过 O 作 ONEF 于 N，连接 SO，SN，OM，则 SO底面 ABCD，OMAB，因此SEN1，SEO2，SMO3，图 856SNSO，E
15、OOM，tan 1tan 3tan 2，即132.故选D.答案：D(2)(2017 年浙江)如图 857 所示，已知正四面体 DABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R 分别为 AB，BC，CA 上的)DQRP 的平面角为，则(图 857A.B.C.D.解析：设 O 为三角形 ABC 中心，则 O 到 PQ 距离最小，O到 PR 距离最大，O 到 RQ 距离居中，而高相等，因此.故选 B.答案：B【高分训练】(2019 年浙江)设三棱锥 VABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点(不含端点)，记直线 PB 与直线 AC所成角为，直线 PB 与平面 ABC 所成角为，二
16、面角 PACB)的平面角为，则(A.，C.，B.，D.，解析：方法一，如图 D76 所示，G 为 AC 中点，V 在底面ABC 的投影为 O，则 P 在底面投影 D 在线段 AO 上，过 D 作DEAC 于 E，易得 PEVG，过 P 作 PFAC 交 VG 于 F，过D 作 DHAC，交 BG 于 H，则BPF，PBD，图 D76答案：B一个转化思想：垂直关系的转化两点防范：(1)在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.(2)面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据。我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.三类论证：(1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为 90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.(2)证明线面垂直的方法(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.
