1、数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若函数，则A. B. 1C. D. 272. 若集合，则A. B. 1，C. D. 3. 设，的大小关系是A. B. C. D. 4. 已知映射f：若集合A中元素x在对应法则f下的像是，则B中元素的原像可以是A. B. C. D. 25. 若圆的半径为6cm，则圆心角为的扇形面积是A. B. C. D. 6. 若函数的零点所在区间为，则k的值是A. 1B. 2C. 3D. 47. 函数在上的大致图象是A. B. C. D. 8. 若不等式在上有解，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 9. 设直线与函数，的图像在内交点的横坐标依次
2、为，则A. B. C. D. 10. 已知锐角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合若角的终边与圆心在原点的单位圆交于点，函数在区间上具有单调性，则角的取值范围是A. B. C. D. 11. 已知，若函数对任意满足，则不等式的解集是A. B. C. D. 12. 已知是定义在R上的奇函数，也是奇函数，当时，若函数，则在区间上的零点个数是A. 108B. 109C. 144D. 145二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 满足y，的集合B的个数是_ 14. 若，则 _ 15. 计算： _ 16. 下列判断正确的是_ 将你认为所有正确的情况的代号填入横线上函数的最小正周期为；若函数，且
3、，则；若，则；若函数的最大值为M，最小值为N，则三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集，集合，求；设集合若，求实数a的取值范围18. 设函数在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图请先列表，再描点连线；若，求的值19. 设函数用定义证明函数在区间上是减函数；若不等式对任意恒成立，求实数m的最小值20. 为减少人员聚集，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式上班分析显示，当S中有的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：，单位：分钟而公交群体中的人均上班路上时间不受x的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：当x取何值时，自驾群体的人均上班路
4、上时间等于公交群体的人均上班路上时间？已知上班族S的人均上班时间计算公式为：，讨论的单调性，并说明实际意义注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时21. 设函数的最小正周期为，其中求函数的递增区间；若函数在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围22. 设函数且是定义在R上的奇函数若，求使不等式对恒成立的实数k的取值范围；设函数的图像过点，函数若对于任意的，都有，求M的最小值答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则，则，故选：B根据题意，由函数的解析式可得的值，进而计算可得答案本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题2.【答案】A【解析】解
5、：1，故选：A可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题3.【答案】B【解析】解：，且，即，故选：B利用对数函数和指数函数的性质求解本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用4.【答案】C【解析】解：集合A中元素x在对应法则f下的像是，中元素的原像可以是：，故选：C直接根据集合A中元素x在对应法则f下的像是，即可求解结论本题考查映射的概念，注意分清象的集合和原象的集合，还有对应法则5.【答案】B【解析】解：，扇形面积故选：B由已知利用扇形的面积公式即可计算
6、得解本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题6.【答案】A【解析】解：函数单调递增，故函数只存在一个零点，且：，由函数零点存在定理可得，函数的零点在区间内，故故选：A首先确定函数的单调性，然后结合函数的端点值和函数零点存在定理即可确定实数k的值本题主要考查函数零点存在定理及其应用，属于基础题7.【答案】A【解析】解：，则是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当时，排除B，故选：A判断函数的奇偶性和对称性，利用进行判断即可本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性和对称性以及函数值的对应性是解决本题的关键，是基础题8.【答案】B【解析】解：不等式可化为，设，则，所以不等式在上有解，实数
7、m的取值范围是，即故选：B把不等式化为，设，求出在上的最小值，即可求得m的取值范围本题考查了不等式在闭区间上有解的应用问题，是基础题9.【答案】D【解析】解：当时，又，故选：D当时，可求出，利用诱导公式，可求出，即可求解考查了诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题10.【答案】D【解析】解：锐角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合若角的终边与圆心在原点的单位圆交于点，函数在区间上具有单调性，故选：D由题意利用任意角的三角函数的定义，二次函数的对称轴，可得，由此可得锐角的取值范围本题主要考查任意角的三角函数的定义，二次函数的对称轴，属于中档题11.【答案】C【解析】解：，即，解得或，原不
8、等式的解集是：故选：C根据可得出，然后即可求出，然后由原不等式可得出，进而得出，然后解出x的范围即可本题考查了偶函数的定义，对数的运算性质，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题12.【答案】D【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，也是奇函数，所以，则，所以是周期为2的函数，因为的周期为2，所以函数是周期为2的函数，所以，则在区间上，故函数在区间上的零点个数是个故选：D由题意可知是周期为2的函数，进而判断出也是周期为2的函数，求出，利用的周期性进行分析求解即可本题考查了函数的零点问题，同时考查了函数的周期性的理解和应用，解题的关键是判断出函数的周期为2，考查了逻辑推理能力，属于
9、中档题13.【答案】4【解析】解：y，y，且，y， 故答案为4根据y，易知y，且，用列举法写出满足已知条件的集合B，即可求出集合B的个数此题是个基础题考查集合的并集及其运算，以及子集和真子集等基础知识，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力14.【答案】【解析】解：根据题意，若，当时，有，故答案为：根据题意，在中，令可得答案本题考查函数解析式的求法，注意特殊值的运用，属于基础题15.【答案】【解析】解：原式故答案为：进行对数和分数指数幂的运算即可本题考查了对数和指数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题16.【答案】【解析】解：对于，函数，所以函数的最小正周期为，故错误；对于，若函数，且，即
10、或，则或，故错误；对于，若，则，故，整理得：，转换为，故正确；对于，若函数，设，由于，所以函数为奇函数，故函数的单调性相同，所以函数的最大值和最小值为一组相反数，故的最大值为，最小值为，则，故正确；故答案为：直接利用三角函数的关系式的变换，三角函数的性质的应用，对数的运算，函数的单调性和奇偶性的应用判断的结论本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质的应用，对数的运算，函数的单调性和奇偶性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题17.【答案】解：依题意，集合，因为，所以，所以因为，所以，当时，与矛盾，不符题意；当时，若，则；由得，实数a的取值范围是【解析】化简集
11、合A，根据补集的定义写出，再计算根据得出，讨论和时，利用求出a的取值范围本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是中档题18.【答案】解：列表如下：x02002描点，连线，可得函数图像如下：由，得，由，得，由，得，则【解析】由条件即可利用五点法做函数函数的简图由题意可得，进而根据诱导公式化简即可求值得解本题主要考查用五点法做函数在一个周期上的简图，考查了三角函数化简求值，体现了转化的数学思想，属于基础题19.【答案】解：证明：任取，且，则，且，即，即，在上是减函数；不等式对任意恒成立，对任意恒成立令，结合知，在上单调递增，则则，即，解得所以m的最小值是【解析】由单调性的定义，结合
12、不等式的性质，即可得证；由参数分离可得对任意恒成立，令，由指数函数的单调性和的结论，可判断的单调性，求得最大值，再由对数不等式的解法可得所求最小值本题考查函数的单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题20.【答案】解：依题意，得当时，不符，当时，若公交群体的人均上班时间等于自驾群体的人均上班时间，即，则，解得或舍，即当时自驾群体的人均上班时间等于公交群体的人均上班时间当时，当时，当时，单调递减，则，当时，在上单调递减，；在上单调递增，当时单调递减，当时单调递增说明该地上班族S中有小于的人自驾时，人均上班时间递减；当大于的人自驾时，人均上班时间递
13、增；当自驾人数等于时，人均上班时间最少【解析】利用题中的条件，列出方程即可直接解出；先将表示出来，利用二次函数的单调性即可解出本题考查了函数的应用，函数的单调性，学生的抽象概括能力，属于基础题21.【答案】解：依题意，的最小正周期为，且，解得，设，函数的递增区间是，由，得函数的递增区间是；当时，令，则，在上递增，在上递减，函数在上有两个不同的零点，函数与两图像在上有两个不同的交点，函数与两图像在上有两个不同的交点，解得实数m的取值范围是【解析】根据余弦的差角公式以及倍角公式，辅助角公式化简函数的解析式，利用周期求出的值，然后利用整体代换思想以及正弦函数的单调性即可求解；先求出函数在已知定义域上
14、的值域，然后将已知问题转化为函数与两图像在上有两个不同的交点，根据函数的值域即可求解本题考查了三角函数的解析式，单调性以及图像性质，涉及到倍角公式以及辅助角公式的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题22.【答案】解：是定义在R上的奇函数，解得，则，而等价于，若，则，结合且，解得，则为增函数，结合，可得，根据题意，对恒成立则，解得，即实数k的取值范围为；函数的图像过点，解得不符，舍去或，根据复合函数“同增异减”可知在上单调递增，对于任意的，都有，且在区间上恒有，即M的最小值为【解析】依题意得，结合，可知，为增函数，由，可得实数k的取值范围；函数的图像过点，可得，且在上单调递增，任意的，都有可等价转化为，求得，即可得到答案本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的判定及应用，考查函数与方程思想、等价转换思想的综合运用，考查数学运算等核心素养，属于难题
