1、巩固层知识整合提升层题型探究直线的倾斜角与斜率【例1】(1)如图所示，直线l1的倾斜角130，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率(2)已知某直线l的倾斜角45，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值解(1)由图形可知，2190，则k1，k2可求直线l1的斜率k1tan 1tan 30.直线l2的倾斜角29030120，直线l2的斜率k2tan 120.(2)由45，故直线l的斜率ktan 451，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2kP2P3kl，即1，解得x27，y10.求直线的倾斜角与斜率注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面
2、几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围(2)当直线的倾斜角0，90)时，随着的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角(90，180)时，随着的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大1(1)若三点A(3，1)，B(2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于_(2)如果直线l1的倾斜角是150，l2l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分BAC，则l3的倾斜角为_(1)9(2)30(1)A，B，C三点共线，kABkAC.，即b9.(2)因为直线l1的倾斜角为150，所以BCA30，所以l3的倾斜角为(9030)30.直线五种形
3、式的方程的应用【例2】已知ABC中，A(1，3)，AB，AC边上中线方程分别为x2y10和y10，求ABC各边所在的直线方程.思路探究：本题利用中线的特殊点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程解设AB，AC边的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，点B在中线y10上，设点B的坐标为(xB，1).点D为AB的中点，又点A的坐标为(1，3)，点D的坐标为.点D在中线CD：x2y10上，2210，xB5.点B的坐标为(5，1).点C在直线x2y10上，设点C的坐标为(2t1，t).AC的中点E的坐标为.点E在中线BE：y1上，1，t1.点C的坐标为(
4、3，1)，ABC各边所在直线的方程为AB：x2y70，BC：x4y10，AC：xy20.求直线方程的方法(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单2过点P(1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk
5、(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意得1，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.两条直线的位置关系【例3】已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a，b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10.即a2ab0，又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可
6、分别表示为l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0.原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a.因此或两条直线的位置关系的判断方法及注意点(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况3已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值解(1)若l1l2，则a1.a1时，l1l2.(2)当l2的斜率不存在时，a1.则l2：x0，l1：x2
7、y60.显然l1与l2不垂直当l2斜率存在时，a1.则k2，k1.l1l2，k1k21.a.距离公式的应用【例4】已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2xy5(x2y)0, 即(2)x(12)y50，所以3，即22520，所以或2.所以l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2，1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立).所以dmax|PA|.距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，
8、两平行直线间的距离(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力4若P、Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()ABCDC因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.对称问题探究问题1怎样求点关于点的对称点？提示设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解2怎样求点关于直线的对称点坐标？提示设出所求点坐标(x, y)，利用中点坐标公
9、式建立关于x, y的第一个方程，再利用垂直关系建立x, y的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解【例5】光线通过点A(2, 3)，在直线l：xy10上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解设点A(2，3)关于直线l的对称点为A(x0，y0)，则解之得，A(4，3).由于反射光线经过点A(4，3)和B(1，1)，所以反射光线所在直线的方程为y1(x1)，即4x5y10.解方程组得反射点P.所以入射光线所在直线的方程为y3(x2)，即5x4y20.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x4y20；4x5y10.1点关于直线对称的点的求法点N(x0，y0)关于直线l：AxByC0的对称点M(x，y)可由方程组求得2直线关于直线的对称的求法求直线l1：A1xB1yC10关于直线l：AxByC0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程5已知A(3，1)，B(5，2)，点P在直线xy0上，若|PA|PB|取最小值，求点P的坐标解点A(3，1)关于直线xy0的对称点为A(1，3)，连线AB与直线xy0的交点，即为所求的点，直线AB的方程为y3(x1)，即yx，与xy0联立得x，y.故点P.
