1、24.1函数的零点学习目标1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系知识点函数零点的概念思考1函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标思考2函数一定都有零点吗？答案不是只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点梳理1.函数的零点如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3二次函数的零点与相应一
2、元二次方程根的关系判别式000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实根二次函数yax2bxc的零点有两个零点x1，x2有一个二重零点x1x2没有零点类型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)8x27x1；(2)f(x).解(1)存在因为f(x)8x27x1(8x1)(x1)，所以方程8x27x10有两个实根和1，即函数f(x)8x27x1的零点是和1.(2)存在令f(x)0，即0，解方程得x6(x2舍去)，所以函数f(x)的零点是6.反思与感悟求函数零点的两种方法(1)代
3、数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：对于不易求根的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练1求下列函数的零点(1)f(x)x2；(2)y(ax1)(x2)解(1)f(x)x2，x0.令f(x)0，即x310，x1，f(x)x2的零点为1.(2)当a0时，令y0得x2.当a0时，令y0得x或x2.当a时，函数的零点为2；当a时，函数的零点为，2.综上所述：当a0或时，零点为2；当a0且a时，零点为，2.类型二函数零点个数的判断例2已知函数f(x)|x22x3|a，求实数a取何值时函数f(x)|x22x3|a，有两个零点；有三个
4、零点解令h(x)|x22x3|和g(x)a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)|x22x3|a的零点个数若函数有两个零点，则a0或a4.若函数有三个零点，则a4.引申探究若f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，求a的取值范围解令f(x)0，得a12|x|x2.令y1a1，y22|x|x2.f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，y1a1，y22|x|x2的图象有四个不同的交点画出函数y2|x|x2的图象，如图所示观察图象可知，0a11，所以1a2.反思与感悟判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点(2)利用函数的
5、图象画出yf(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数(3)转化为两个函数图象交点问题例如，函数F(x)f(x)g(x)的零点个数就是方程f(x)g(x)的实数根的个数，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象交点的个数跟踪训练2已知aR，讨论关于x的方程|x26x8|a的实数解的个数解令f(x)|x26x8|，g(x)a，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，f(x)|(x3)21|.下面对a进行分类讨论，由图象得，当a0时，原方程无实数解；当a1时，原方程实数解的个数为3；当0a1或a0时，原方程实数解的个数为2.类型三函数零点性质的应用例3已知关于x的二
6、次方程ax22(a1)xa10有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围解令f(x)ax22(a1)xa1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.f(x)的大致图象如图所示：则a应满足或即或解得0a5，a的取值范围为(0,5)反思与感悟解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论跟踪训练3已知关于x的二次方程x22mx2m10.若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围解由已知抛物线f(x)x22mx2m
7、1的图象与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，画出示意图，得m，故m的取值范围是(，)1下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案D2函数yx24的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是()A(0，2)；2 B(2,0)；2C(0，2)；2 D(2,0)；2答案B解析令x240，得x2，故交点坐标为(2,0)，所以函数的零点为2.3如果二次函数yx2mxm3有两个不同的零点，则m的取值范围是()A(2,6)B2,6C(，2)(6，)D2,6答案C解析由题意，得m24(m3)0，即m24m120，由二次函数的图象知m6或m2.4若函数f(x)x2axb的零点是2和4，则a_，b_.答
8、案28解析2，4是函数f(x)的零点，f(2)0，f(4)0，即解得5若f(x)axb(b0)有一个零点是3，则函数g(x)bx23ax的零点是_答案0，1解析3是f(x)axb的一个零点，3ab0，即b3a.g(x)bx23ax3ax23ax3ax(x1)，g(x)的零点是0，1.1函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根是函数yf(x)与yg(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的零点2函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础课时作业一、选择题1下列图象表示的函数中没
9、有零点的是()答案A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点2函数yx2bx1有一个零点，则b的值为()A2 B2C2 D3答案C解析因为函数有一个零点，所以b240，所以b2.3已知函数f(x)则函数f(x)的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析当x0时，x(x4)0的解为x4；当x0时，x(x4)0的解为x0或x4.故f(x)有3个零点4下列说法中正确的个数是()f(x)x1，x2,0的零点为(1,0)；f(x)x1，x2,0的零点为1；yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴的交点；yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴交
10、点的横坐标A1 B2 C3 D4答案B解析根据函数零点的定义，f(x)x1，x2,0的零点为1，也就是函数yf(x)的零点，即yf(x)的图象与x轴交点的横坐标因此，只有说法正确，故选B.5若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A2 B1 C0 D3答案A解析f(x)x在(1,2)上有零点，即方程x0，亦即x2a在(1,2)上有根4a1，故选A.6若二次函数f(x)ax2bxc满足f(1)0，且abc，则该函数的零点个数为()A1 B2C0 D不能确定答案B解析由f(1)0，得abc0，又abc，a0，c0.故方程ax2bxc0有两个实数根，所以函数f(x)ax2
11、bxc有两个零点二、填空题7函数f(x)(x1)(x23x10)的零点有_个答案3解析f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.8若函数f(x)2x2ax3有一个零点为，则f(1)_.答案0解析因为函数f(x)2x2ax3有一个零点为，所以是方程2x2ax30的一个根，则2a30，解得a5，所以f(x)2x25x3，则f(1)2530.9若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_答案(1,0)解析f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，1b0.10二次函数yx22axa1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实
12、数a的取值范围是_答案(0，)解析由于二次函数图象开口向上，则只需f(1)0，即a0，a0.三、解答题11已知函数f(x)x2bx3.(1)若f(0)f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围解(1)由f(0)f(4)得3164b3，即b4，所以f(x)x24x3，令f(x)0，即x24x30得x13，x21.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图需f(1)0，即1b30，所以b4.故b的取值范围为(4，)12已知关于x的函数y(m6)x22(m1)xm1恒有零点(1)求m的范围；(2)若函数
13、有两个不同零点，且其倒数之和为4，求m的值解(1)当m60，即m6时，函数为y14x5显然有零点；当m60，即m6时，由4(m1)24(m6)(m1)36m200，得m.当m且m6时，二次函数有零点综上，m.故m的取值范围是(，(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1x2，x1x2.4，即4，4，解得m3.且当m3时，m60，0符合题意，m的值为3.13关于x的方程x22xa0.求a为何值时：(1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(1,1)内，另一个根在(2,3)内；(3)方程的两个根都大于零？解(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f(1)0.由f(1)0，得1
14、2a0，所以a1.(2)由方程一个根在区间(1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得即解得3a0.(3)由方程的两个根都大于零，得解得0a1.四、探究与拓展14函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2C3 D4答案B解析函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数方程|log0.5x|x的根的个数函数y1|log0.5x|与y2x的图象的交点个数作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.15已知函数f(x)3ax12a在1,1上存在零点x0，且x01，求实数a的取值范围解当a0时，函数f(x)1，不合题意；当a0时，函数f(x)的图象是一条直线依题意，有f(1)f(1)0(a1)(5a1)0(a1)(5a1)0a1或a.综上可知，实数a的取值范围为(，1)(，)
