1、2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试卷（理科）考试时间：120分钟 试题分数：150分 命题人：卢永娜参考公式：球的体积公式：，其中为半径.卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，集合，则等于 A B C D2.已知若为实数，则实数的值为 A2 B C D3.已知向量满足，且，则与的夹角为 A B C D4.已知，则等于 A B C D5. 的展开式中的常数项为 A32 B64 C D6. “”是“直线与直线平行”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7. 由直线及曲线
2、围成的封闭图形的面积为 A1 B3 C6 D98. 某四面体的三视图如图所示，其主视图、左视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A B C D9. 若执行右面的程序框图，则输出的值是 A4 B. 5 C. 6 D. 710. 从抛物线图象上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则的面积为 A10 B20 C40 D8011. 实数满足条件，则的最小值为 A B C0 D112.已知函数的图象关于点对称，且当时，成立（其中是的导函数），若，则的大小关系是 A B C D卷二填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13等差数列的前项和为，且，则公差等于
3、_. 14已知双曲线的一条渐近线经过点，则该渐近线与圆相交所得的弦长为_.15定义运算：，例如：，则函数的最大值为_. 16设是等比数列，公比，为的前项和.记，设为数列的最大项，则_. 三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（本小题满分12分） 已知分别为三个内角所对的边长，且（）求的值；（）若，求的值.18（本小题满分12分） 为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自
4、身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?（）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量的分布列及数学期望.19（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，侧面底面，且，是的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 20（本小题满分12分） 平面直角坐标系中，经过椭圆：的一个焦点的直线与相交于两点，为的中点，且斜率是()求椭圆的方程；(
5、)直线分别与椭圆和圆：相切于点，求的最大值21（本小题满分12分） 设函数. ()若，求函数的单调区间；()若，函数，若存在，使得成立，求的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，已知：是以为直径的半圆上一点，于点，直线与过点的切线相交于点，为中点，连接交于点，（）求证：BCF=CAB ；（）若FB=FE=1，求O的半径23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
6、曲线的极坐标方程为，.（）写出直线的极坐标方程；（）求直线与曲线交点的极坐标24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知，且（I）求证：；（II）求证：2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试卷（理科）参考答案一选择题1B 2D 3B 4A 5C 6A 7D 8C 9A 10A 11C 12B二填空题13 14 154 16 三解答题17解：（）由正弦定理，得又，可得(6分)（）若，则，得， (12分)18. 解：（）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有人，2分故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的
7、概率是4分（）女生志愿者人数则 9分的分布列为 10分012的数学期望为 12分19. （）证明：侧面底面，且，所以，如图，以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 2分设，是的中点，则有，于是，因为，所以，且，因此平面 6分（）由（）可知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则所以不妨设，则，于是， 10分由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角的余弦值为12分20. 解：（1）设，则，由此可得，又由题意知，的右焦点是，故，因此，所以椭圆的方程是；（6分）（2）设分别为直线与椭圆和圆的切点，直线的方程为：，代入得，判别式，得，直线与相切，所以，即，再由得，因为，当时取等号，
8、所以，因此当时，的最大值是1（12分）21. 解：()函数的定义域为，令，得.( （2分）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减；（3分）当，即时，函数在上单调递增；（4分）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减；（5分）（）当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为（6分） 因为函数在上单调递增， 所以的最小值为，（7分）所以在上恒成立. （8分）要存在，使得成立，只需要，即，解得（11分）又，所以的取值范围是（12分）22. 证明：因为AB是直径，所以ACB90又因为F是BD中点，所以BCF=CBF=90-CBA=CAB 因此BCF=CAB 5分（）解：直线CF交直线AB于点G，由FC=FB=FE得：FCE=FEC 可证得：FAFG，且ABBG由切割线定理得：（1FG）2BGAG=2BG2 在RtBGF中，由勾股定理得：BG2FG2BF2 由、得：FG2-2FG-3=0解之得：FG13，FG21（舍去）所以ABBG所以O半径为. 10分23. 解：（）将消去参数，化为普通方程再将代入，得5分（）联立直线与曲线的极坐标方程因为，所以可解得或，因此与交点的极坐标分别为，10分24. 证明：（I），即；5分（II），即，10分
