1、第2讲 函数的综合问题基础过关1.已知f(x-2)=lnx-2x,且f(x0)=0,则x0所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(4,5)2.下列函数在其定义域内既是奇函数又存在零点的是()A.f(x)=ex-1B.f(x)=x+1xC.f(x)=2x-xD.f(x)=2x-x23.已知函数f(x)=x2-2x+2,x0,log12(x+1),x0,若当xa,a+1时,不等式f(x+a)f(2a-x)恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,-2)B.(-,-2C.(-2,+)D.-2,+)4.设三个函数y=2x+x-2,y=log2x+x-2和y=x3-3x2+3x-
2、1的零点分别为x1,x2和x3,则有()A.x1x2x3,x1+x22x3B.x1x2x32,x1+x22x3D.x1x2=x32,x1+x22x35.设函数f(x)=2xx+1+lnx满足f(a)f(b)f(c)0(abc),若f(x)存在零点x0,则下列选项中一定错误的是()A.x0(a,c)B.x0(a,b)C.x0(b,c)D.x0(c,+)6.已知函数f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2有两个零点x1,x2,则x1+x2=()A.2B.4C.5D.67.衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元经营利润的目标,拟制定员工的奖励方案:在经营利润超过6万元的前提下
3、进行奖励,且奖金y(单位:万元)随经营利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过经营利润的20%.下列函数模型中,符合要求的是(参考数据:1.0151004.432,lg111.041)()A.y=0.04xB.y=1.015x-1C.y=tanx19-1D.y=log11(3x-10)8.已知函数f(x)=ex-1-ax-1e(aR)的图像与x轴有唯一的公共点,则实数a的取值范围为()A.a0B.a0或a=1eC.a0或a=eD.a0或a=19.已知函数f(x)=lnxx2,若f(x)eB.me2C.m1D.me10.若函数f(x)=2|x-2a|-4|x+a
4、|在区间(-2,+)上有且仅有一个零点,则实数a的取值范围是.能力提升11.已知函数f(x)=x2+10x+1,x0,|lgx|,x0,若关于x的方程f(x)=a(aR)有四个实数解xi(i=1,2,3,4),其中x1x2x3x4,则(x1+x2)(x3-x4)的取值范围是()A.(0,101B.(0,99C.(0,100D.(0,+)12.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,y=f(x+1)是奇函数,y=g(x+1)是偶函数,若y=f(x)g(x)的图像与x轴有5个交点,则y=f(x)g(x)的零点之和为()A.-5B.5C.-10D.1013.已知0,2,若满足不等式sin3-cos
5、3lncossin,则的取值范围是()A.4,2B.0,4C.4,3D.4,214.若函数f(x)=2x-a,x1,4(x-a)(x-2a),x1恰有两个零点,则实数a的取值范围为()A.12,1B.(1,2C.0,122,+)D.12,12,+)15.若函数f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在区间0,1a上恰有一个零点,则实数a的取值范围是()A.13,12B.3,+)C.(1,2)3,+)D.2,3)16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=e-x(x-1);函数f(x)有三个零点;f(x)0的解集为(-1,0)(1,+);x1,x2R,|f(x1)-
6、f(x2)|0)有且仅有三个不同的零点x1,x2,x3(x1x20,下列关于函数y=ff(x)-2的零点个数的判断中正确的是()A.当a0时,该函数至少有2个零点B.当a0时,该函数至多有7个零点C.当a0时,该函数至少有4个零点D.当a0),若关于x的不等式f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,e2B.(0,e2)C.1,e2D.(1,e2)20.设f(x)=|lnx|,0x2,f(4-x),2x0).易知f(x)=ln(x+2)-2x+2是定义域上的增函数,故f(x)在定义域内最多有一个零点,又f(0)=ln2-10,所以存在x0(0,1),使得f(x0)=0.2.C解析根据
7、函数奇偶性的概念可知A选项与D选项所给函数不具有奇偶性;对于B选项,f(x)=x+1x为奇函数,但不存在零点;对于C选项,f(x)=2x-x为奇函数,且f(2)=0.故选C.3.B解析作出函数f(x)的图像,如图所示.由图可知,函数f(x)在R上单调递减,所以f(x+a)f(2a-x)x+a2a-x,可得xa2.由题意知,当xa,a+1时,xa2恒成立,所以a+1a2,解得a-2.故选B.4.B解析易知x3=1.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x,y=2-x的图像,如图所示,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分别是曲线y=2x,曲线y=log2x与直线y=2-x的交点.
8、因为函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称,且直线y=2-x也关于直线y=x对称,所以交点A,B关于直线y=x对称,所以x1+x22=y1+y22,即2-x1+2-x2=x1+x2,所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2x1+x222=1(0x1x2),所以x1x20,且函数f(x)是增函数.由f(a)f(b)f(c)0(ab3,不符合题意;对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y3.4323,不符合题意;对于函数y=tanx19-1,在(6,100上不是增函数,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),在(6,100上是增函数,且ylog11(3100-10
9、)=log11290log11(3x-10)恒成立,所以该函数符合题意.故选D.8.B解析由题意可得f(0)=e-1-1e=0,则函数f(x)的图像与x轴的唯一公共点为原点.f(x)=ex-1-a,当a0时,f(x)0恒成立,则函数f(x)在R上单调递增,此时函数f(x)的图像与x轴有唯一的公共点.当a0时,由f(x)0得xlna+1,由f(x)0得xlna+1,则f(x)在(-,lna+1)上单调递减,在(lna+1,+)上单调递增.由题意可得lna+1=0,解得a=1e.综上,实数a的取值范围为a0或a=1e,故选B.9.B解析f(x)=lnxx2,f(x)1+lnxx2(x0)恒成立.令
10、g(x)=1+lnxx2,则g(x)=1xx2-2x(1+lnx)x4=-1-2lnxx3.当x0,e-12时,g(x)0,g(x)在区间0,e-12上单调递增;当xe-12,+时,g(x)e2.故选B.10.a=0或a12解析若函数f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在区间(-2,+)上有且仅有一个零点,则方程2|x-2a|=4|x+a|,即2|x-2a|=22|x+a|,即|x-2a|=2|x+a|,即(x-2a)2=4(x+a)2,即x(x+4a)=0在(-2,+)上有且只有一个根.当a=0时,满足题意;当a0时,必有-4a-2,解得a12.故实数a的取值范围是a=0或a12.11.B
11、解析画出函数f(x)=x2+10x+1,x0,|lgx|,x0的图像,如图所示.根据题意及图像知x1+x2=-10,lgx3=-lgx4,故x3x4=1,且110x31,故(x1+x2)(x3-x4)=-10x3-1x3(0,99.故选B.12.B解析由题意得f(-x+1)=-f(x+1),即f(2-x)=-f(x),又g(-x+1)=g(x+1),即g(2-x)=g(x),所以f(2-x)g(2-x)=-f(x)g(x),所以函数y=f(x)g(x)的图像关于点(1,0)对称.设y=f(x)g(x)的零点为x1,x2,x3,x4,x5,易知x3=1,设x1x21x40且cos0,故0且2,即
12、0,2.设f(x)=x3+lnx,x0,则不等式sin3+lnsincos3+lncos等价于f(sin)f(cos).f(x)=3x2+1x,则当x0时,f(x)0恒成立,即f(x)在(0,+)上为增函数,则f(sin)f(cos)等价于sincos.0,2,sincos1,即tan1,即40且h(1)=2-a0,2a1且a1,即0a2,12a1,所以12a0,f16=0-log3520,f13=1-log33=0,所以f(x)在0,16内有一个零点,x=13为一个零点,不合题意,综上可知,实数a的取值范围为2,3),故选D.16.D解析因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(
13、x)=ex(x+1),所以当x0,故f(x)=-f(-x)=-e-x(1-x)=e-x(x-1),故正确.f(x)=ex(x+1),x0,当x=-1,0,1时,f(x)=0,故函数f(x)有三个零点,故正确.不等式f(x)0等价于x0或x0,e-x(x-1)0,解得-1x1,所以f(x)0的解集为(-1,0)(1,+),故正确.当x0时,f(x)=(x-1)e-x,f(x)=e-x-(x-1)e-x=(2-x)e-x,当0x0,所以f(x)在(0,2)上为增函数;当x2时,f(x)-1,所以当x0时,f(x)的取值范围为(-1,e-2,因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)的值域为(-1,1
14、),故x1,x2R,|f(x1)-f(x2)|2,故正确.故选D.17.D解析f(x)有且仅有三个不同的零点等价于方程2sinx+4=ax-34有且仅有三个不同的实数根,等价于曲线y=2sinx+4与直线y=ax-34有且仅有三个不同交点.作出曲线y=2sinx+4和直线y=ax-34,如图.当直线y=ax-34与曲线y=2sinx+4相切时,满足题意.因为x1x2x3,所以x2=34,且2cos(x3+4)=a,2sin(x3+4)=a(x3-34),消去a得tanx3+4=x3-34,由诱导公式得tan(x3-x2)=tanx3-34=tanx3+4=x3-34,又74x394,所以tan
15、(x3-x2)=x3-34,32.故选D.18.B解析令y=x3-3x,x0,则y=3x2-3,令y=0,可得x=-1,当x0,当-1x0时,y0时,要使零点个数最少,则a1,此时x+ax2xax=2a2(x0),此时函数f(x)的图像如图所示.由y=ff(x)-2=0得ff(x)=2,故f(x)=-1,由图可得y=ff(x)-2的零点个数为1,故A错误.要使零点个数最多,则0a1,此时x+ax2xax=2a0),此时函数f(x)的图像如图所示.由y=ff(x)-2=0得ff(x)=2,所以f1(x)=-1,f2(x)=t1,f3(x)=t2,其中t2a,0t1a,又f1(x)=-1有1个根,
16、f2(x)=t1有2个根,f3(x)=t2最多有4个根,所以y=ff(x)-2最多有7个零点,故B正确.(2)当a0,故t=1+1-a2,故f1(x)=-1有2个根,f2(x)=t有1个根,故y=ff(x)-2一共有3个零点,所以C,D错误.故选B.19.B解析由f(x)=ex-aln(ax-a)+a0恒成立,得1aexlna(x-1)-1恒成立,可得ex-lna-lnaln(x-1)-1恒成立,变形得ex-lna+x-lnaeln(x-1)+ln(x-1)恒成立.令g(x)=ex+x,显然g(x)为增函数,则原问题等价于g(x-lna)gln(x-1)恒成立,故x-lnaln(x-1)恒成立
17、,即lna1),则h(x)=x-2x-1,当x(1,2)时,h(x)0,故h(x)min=h(2)=2,所以lna2,即0ae2.故选B.20.20,412解析当2x4时,f(x)=f(4-x),f(x)在(2,4)与(0,2)上的图像关于直线x=2对称.作出f(x)的图像如图所示.不妨设x1x2x3x4,可得x1+x4=x2+x3=4,-lnx1=lnx2,x1x2=1,x1=1x2,x4=4-1x2,x3=4-x2,x12+x22+x32+x42=1x22+x22+(4-x2)2+4-1x22=2x2+1x22-8x2+1x2+28,x2(1,2).令t=x2+1x2,则t2,52,令h(
18、t)=2t2-8t+28,t2,52,可得h(t)在2,52上单调递增,h(2)h(t)h52,即20h(t)0).易知f(x)=ln(x+2)-2x+2是定义域上的增函数,故f(x)在定义域内最多有一个零点,又f(0)=ln2-10,所以存在x0(0,1),使得f(x0)=0.2.C解析根据函数奇偶性的概念可知A选项与D选项所给函数不具有奇偶性;对于B选项,f(x)=x+1x为奇函数,但不存在零点;对于C选项,f(x)=2x-x为奇函数,且f(2)=0.故选C.3.B解析作出函数f(x)的图像,如图所示.由图可知,函数f(x)在R上单调递减,所以f(x+a)f(2a-x)x+a2a-x,可得
19、xa2.由题意知,当xa,a+1时,xa2恒成立,所以a+1a2,解得a-2.故选B.4.B解析易知x3=1.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x,y=2-x的图像,如图所示,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分别是曲线y=2x,曲线y=log2x与直线y=2-x的交点.因为函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称,且直线y=2-x也关于直线y=x对称,所以交点A,B关于直线y=x对称,所以x1+x22=y1+y22,即2-x1+2-x2=x1+x2,所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2x1+x222=1(0x1x2),所以x1x20,且函数f(x)是增
20、函数.由f(a)f(b)f(c)0(ab3,不符合题意;对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y3.4323,不符合题意;对于函数y=tanx19-1,在(6,100上不是增函数,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),在(6,100上是增函数,且ylog11(3100-10)=log11290log11(3x-10)恒成立,所以该函数符合题意.故选D.8.B解析由题意可得f(0)=e-1-1e=0,则函数f(x)的图像与x轴的唯一公共点为原点.f(x)=ex-1-a,当a0时,f(x)0恒成立,则函数f(x)在R上单调递增,此时函数f(x)的图像与x轴有唯一的公共点.当a0
21、时,由f(x)0得xlna+1,由f(x)0得xlna+1,则f(x)在(-,lna+1)上单调递减,在(lna+1,+)上单调递增.由题意可得lna+1=0,解得a=1e.综上,实数a的取值范围为a0或a=1e,故选B.9.B解析f(x)=lnxx2,f(x)1+lnxx2(x0)恒成立.令g(x)=1+lnxx2,则g(x)=1xx2-2x(1+lnx)x4=-1-2lnxx3.当x0,e-12时,g(x)0,g(x)在区间0,e-12上单调递增;当xe-12,+时,g(x)e2.故选B.10.a=0或a12解析若函数f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在区间(-2,+)上有且仅有一个零
22、点,则方程2|x-2a|=4|x+a|,即2|x-2a|=22|x+a|,即|x-2a|=2|x+a|,即(x-2a)2=4(x+a)2,即x(x+4a)=0在(-2,+)上有且只有一个根.当a=0时,满足题意;当a0时,必有-4a-2,解得a12.故实数a的取值范围是a=0或a12.11.B解析画出函数f(x)=x2+10x+1,x0,|lgx|,x0的图像,如图所示.根据题意及图像知x1+x2=-10,lgx3=-lgx4,故x3x4=1,且110x31,故(x1+x2)(x3-x4)=-10x3-1x3(0,99.故选B.12.B解析由题意得f(-x+1)=-f(x+1),即f(2-x)
23、=-f(x),又g(-x+1)=g(x+1),即g(2-x)=g(x),所以f(2-x)g(2-x)=-f(x)g(x),所以函数y=f(x)g(x)的图像关于点(1,0)对称.设y=f(x)g(x)的零点为x1,x2,x3,x4,x5,易知x3=1,设x1x21x40且cos0,故0且2,即0,2.设f(x)=x3+lnx,x0,则不等式sin3+lnsincos3+lncos等价于f(sin)f(cos).f(x)=3x2+1x,则当x0时,f(x)0恒成立,即f(x)在(0,+)上为增函数,则f(sin)f(cos)等价于sincos.0,2,sincos1,即tan1,即40且h(1)
24、=2-a0,2a1且a1,即0a2,12a1,所以12a0,f16=0-log3520,f13=1-log33=0,所以f(x)在0,16内有一个零点,x=13为一个零点,不合题意,综上可知,实数a的取值范围为2,3),故选D.16.D解析因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=ex(x+1),所以当x0,故f(x)=-f(-x)=-e-x(1-x)=e-x(x-1),故正确.f(x)=ex(x+1),x0,当x=-1,0,1时,f(x)=0,故函数f(x)有三个零点,故正确.不等式f(x)0等价于x0或x0,e-x(x-1)0,解得-1x1,所以f(x)0的解集为(-1,
25、0)(1,+),故正确.当x0时,f(x)=(x-1)e-x,f(x)=e-x-(x-1)e-x=(2-x)e-x,当0x0,所以f(x)在(0,2)上为增函数;当x2时,f(x)-1,所以当x0时,f(x)的取值范围为(-1,e-2,因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)的值域为(-1,1),故x1,x2R,|f(x1)-f(x2)|2,故正确.故选D.17.D解析f(x)有且仅有三个不同的零点等价于方程2sinx+4=ax-34有且仅有三个不同的实数根,等价于曲线y=2sinx+4与直线y=ax-34有且仅有三个不同交点.作出曲线y=2sinx+4和直线y=ax-34,如图.当直线y=a
26、x-34与曲线y=2sinx+4相切时,满足题意.因为x1x2x3,所以x2=34,且2cos(x3+4)=a,2sin(x3+4)=a(x3-34),消去a得tanx3+4=x3-34,由诱导公式得tan(x3-x2)=tanx3-34=tanx3+4=x3-34,又74x394,所以tan(x3-x2)=x3-34,32.故选D.18.B解析令y=x3-3x,x0,则y=3x2-3,令y=0,可得x=-1,当x0,当-1x0时,y0时,要使零点个数最少,则a1,此时x+ax2xax=2a2(x0),此时函数f(x)的图像如图所示.由y=ff(x)-2=0得ff(x)=2,故f(x)=-1,
27、由图可得y=ff(x)-2的零点个数为1,故A错误.要使零点个数最多,则0a1,此时x+ax2xax=2a0),此时函数f(x)的图像如图所示.由y=ff(x)-2=0得ff(x)=2,所以f1(x)=-1,f2(x)=t1,f3(x)=t2,其中t2a,0t1a,又f1(x)=-1有1个根,f2(x)=t1有2个根,f3(x)=t2最多有4个根,所以y=ff(x)-2最多有7个零点,故B正确.(2)当a0,故t=1+1-a2,故f1(x)=-1有2个根,f2(x)=t有1个根,故y=ff(x)-2一共有3个零点,所以C,D错误.故选B.19.B解析由f(x)=ex-aln(ax-a)+a0恒
28、成立,得1aexlna(x-1)-1恒成立,可得ex-lna-lnaln(x-1)-1恒成立,变形得ex-lna+x-lnaeln(x-1)+ln(x-1)恒成立.令g(x)=ex+x,显然g(x)为增函数,则原问题等价于g(x-lna)gln(x-1)恒成立,故x-lnaln(x-1)恒成立,即lna1),则h(x)=x-2x-1,当x(1,2)时,h(x)0,故h(x)min=h(2)=2,所以lna2,即0ae2.故选B.20.20,412解析当2x4时,f(x)=f(4-x),f(x)在(2,4)与(0,2)上的图像关于直线x=2对称.作出f(x)的图像如图所示.不妨设x1x2x3x4,可得x1+x4=x2+x3=4,-lnx1=lnx2,x1x2=1,x1=1x2,x4=4-1x2,x3=4-x2,x12+x22+x32+x42=1x22+x22+(4-x2)2+4-1x22=2x2+1x22-8x2+1x2+28,x2(1,2).令t=x2+1x2,则t2,52,令h(t)=2t2-8t+28,t2,52,可得h(t)在2,52上单调递增,h(2)h(t)h52,即20h(t)412,x12+x22+x32+x42的取值范围是20,412.
