1、中档解答题(三) 时间:35分钟 分值:70分1.已知等比数列an的前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(nN*).(1)求a的值及数列an的通项公式;(2)若bn=(3n+1)log3(an+1),求数列的前n项和Tn.2.已知向量a=(2cos x,sin x),b=(cos x,2cos x),函数f(x)=ab+m(mR),且当x时,f(x)的最小值为2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把所得的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间上所有根之和.3.如图,直三棱柱ABC-A1
2、B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为AB的中点,E,F分别是棱BC,CC1上的一点,=,=.(1)若A1B平面AEF,求证:-=1;(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,求二面角D-A1C-A的大小.4.张老师开车上班,有路线与路线两条路线可供选择.路线:沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,若A处遇红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟;若B处遇红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为20分钟.路线:沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,若a处遇红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟;若b处遇红灯或黄灯,
3、则导致延误时间5分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为15分钟.(1)若张老师选择路线,求他20分钟能到校的概率;(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?并说明理由.5.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C1:(t为参数),曲线C2的极坐标方程为=cos 2+8cos .(1)将曲线C1,C2分别化为普通方程、直角坐标方程,并说明表示什么曲线;(2)设F(1,0),曲线C1与曲线C2相交于不同的两点A,B,求|AF|+|BF|的值.6.已知函数f(x)=|x+2|-|x-a|,aR.(1)当a=3时,解不等式f(x)3;(2)当x
4、(-,-2)时,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.答案精解精析1.解析(1)6Sn=3n+1+a(nN*),当n=1时,6S1=6a1=9+a,当n2时,6Sn-1=3n+a,6an=6(Sn-Sn-1)=23n,即an=3n-1,an是等比数列,a1=1,则9+a=6,得a=-3,数列an的通项公式为an=3n-1(nN*).(2)由(1)得bn=(3n+1)log3(an+1)=(3n-2)(3n+1),Tn=+=+=.2.解析f(x)=2cos2x+2sin xcos x+m=cos 2x+sin 2x+m+1=2sin 2x+cos 2x+m+1=2sin+m+1.因为当x时,2x
5、+,所以当x=时,f(x)取得最小值-1+m+1=2,所以m=2,所以f(x)=2sin+3.(1)令2k-2x+2k+(kZ),得f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)将f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,得函数图象对应的解析式为y=2sin+3,再把图象向右平移个单位,得函数图象对应的解析式为g(x)=2sin+3.由g(x)=4,得sin=,则4x-=2k+或2k+(kZ),即x=+或+(kZ).因为x,所以x=或,故所求所有根之和为+=.3.解析(1)证明:记A1C与AF的交点为M,连接EM,如图.因为平面A1BC平面AEF=EM,且A1B平面A1BC,若A1B平
6、面AEF,则A1BEM,所以=.又AA1CC1,所以=,故=,则=,整理得-=1.(2)因为ABC是正三角形,D为AB的中点,所以CDAB.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CDAA1,因此CD平面A1ABB1,于是CA1D是直线A1C与平面A1ABB1所成的角.由题设知CA1D=45,ABC的边长为2,所以A1D=CD=.在RtAA1D中,AA1=.以A为坐标原点,AC,AA1所在直线分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D,A1(0,0,),C(0,2,0),A(0,0,0),所以=,=(0,2,-).易知平面AA1C的一个法向量为m=(1,0,0).设平面DA1C的
7、法向量n=(x,y,z),则即取z=,得x=,y=1,所以n=(,1,)是平面DA1C的一个法向量.从而cos=,故=45,所以二面角D-A1C-A的大小为45.4.解析(1)走路线,20分钟能到校意味着张老师在A,B两处均遇到绿灯,记该事件发生的概率为P,则P=.(2)设选择路线的延误时间为随机变量,则的所有可能取值为0,2,3,5.则P(=0)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=5)=.的数学期望E()=0+2+3+5=2.设选择路线的延误时间为随机变量,则的所有可能取值为0,8,5,13.则P(=0)=,P(=8)=,P(=5)=,P(=13)=.的数学期望E()=0+8+5+13=5
8、.因此选择路线平均所花时间为20+2=22分钟,选择路线平均所花时间为15+5=20分钟,所以为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线.5.解析(1)将曲线C1的方程化为普通方程得y=-x+1,C1表示一条直线.曲线C2的方程可变形为2sin2=4cos ,化为直角坐标方程可得y2=4x,曲线C2表示顶点在原点,焦点为(1,0)的抛物线.(2)由消去y,可得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6.易知F(1,0)为曲线C2的焦点,所以|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8.6.解析(1)当a=3时,f(x)3,即|x+2|-|x-3|3,等价于或或解得x或2x2.(2)当x-2时,f(x)=-2-x-|x-a|,f(x)-2-x,则x-a-2-x或x-a2+x,整理得a-2,只需a-2,当x(-,-2)时,(2x+2)min不存在,所以a-2.所以a的取值范围是(-2,+).
