1、单元检测七不等式、推理与证明(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共4页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间100分钟，满分130分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019安徽省六安市舒城县期末)已知a，b，c，dR，则下列不等式中恒成立的是()A若ab，cd，则acbdB若ab，则ac2bc2C若ab0，则(ab)c0D若ab，则acbc2“10”是“(x2)(x1)0
2、”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件3下面几种推理过程是演绎推理的是()A某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B由三角形的性质，推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D在数列an中，a11，an，由此归纳出an的通项公式4若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQ BPQRCQPR DPR0，y0，且2x8yxy0，则xy的最小值为()A8 B14 C16 D646用数学归纳法证明“123n3，nN”，则当nk1时，左端应在nk的基
3、础上加上()A(k31)(k32)(k1)3B(k31)(k32)(k3k1)C(k1)3D.7已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x，若不等式f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A(，0) B(，)C(，0)(，) D(，)(，)8已知不等式2xm0对一切x(1，)恒成立，则实数m的取值范围是()A(6，) B(，6)C(8，) D(，8)9若直线l：axby10(a0，b0)把圆C：(x4)2(y1)216分成面积相等的两部分，则的最小值为()A10 B8 C5 D410若变量x，y满足约束条件则t的取值范围是()A. B. C. D.1
4、1中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足ab12，c8，则此三角形面积的最大值为()A4 B4 C8 D812已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为x(单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为z(单位：L)，其中装有体积为y(单位：L)的水(xz，y0的解集是，则实数a的值为_14已知x，则的最小值为_15某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同下
5、面是关于他们选课的一些信息：甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)16(2019西安期中)单位向量a，b的夹角为锐角，若对于任意(x，y)(x，y)|xayb|1，xy0，都有|x2y|成立，则ab的最小值为_三、解答题(本题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知函数f(x)(m1)x2mxm1，当m2时，解关于x的不等式f(x)m.18.(12分)已知函数f(x
6、)(3x1)a2xb.(1)若f，且a0，b0，求ab的最大值；(2)当x0,1时，f(x)1恒成立，且2a3b3，求z的取值范围19(13分)2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2 500万元，每生产x百辆新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完(1)求该企业2020年的年利润L(x)万元关于年产量x(单位：百辆)的函数解析式(利润销售额成本)；(2)当2020年年产量为多少百辆时，企业所获年利润最大？并求出最大年利润20.(13分)设a11，an1b(nN)(1)若b
7、1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN恒成立？证明你的结论答案精析1D当c0时，A不成立；当c0时，B不成立；当c 0时，C不成立；由不等式的性质知D成立故选D.2A由10，得0，等价于(x1)(x2)0，且x1，解得x2或x1.由(x2)(x1)0，得x2或x1，所以“10”能推出“(x2)(x1)0”，“(x2)(x1)0”推不出“10”，故“10”是“(x2)(x1)0”的充分不必要条件，故选A.3C因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分4B由于函数yl
8、g x在(0，)上是增函数，ab1，则lg alg b0，由基本不等式可得PQ(lg alg b)lg(ab)lg lg R，因此，PQ0，y0，且2x8yxy0，xy2x8y2， 8，xy64，当且仅当x16，y4时取等号，xy的最小值为64，故选D.6A当nk时，左端式子为123k3，当nk1时，左端式子为123k3(k31)(k32)(k1)3，两式比较可知增加的式子为(k31)(k32)(k1)3.7B当x0时，f(x)x，则函数yf(x)在0，)上为增函数，又函数yf(x)是R上的奇函数，则函数yf(x)在(，0)上也为增函数，易知函数yf(x)在R上为连续函数，由f(4t)f(2m
9、mt2)，得4t2mmt2，即mt24t2m0.由题意知，不等式mt24t2m0对任意的tR恒成立当m0时，则有4t0，解得t0，不符合题意；当m0时，则有解得m2x2恒成立，因为x1，所以226，当且仅当x2时等号成立，故实数m的取值范围是(6，)9B由题意知，圆的圆心C(4，1)在直线l上，所以4ab10，所以4ab1.所以(4ab)442 8，当且仅当，即a，b时，等号成立所以的最小值为8.故选B.10B作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)t表示可行域内的点与点M(3,2)连线的斜率由图可知，当可行域内的点与点M的连线与圆x2y24相切时斜率分别取最大值和最小值设切线方程为y2k(
10、x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0，所以t的取值范围是，故选B.11C由题意知，p10，S8，此三角形面积的最大值为8.12D对于A，若xyz，每次倾倒后甲容器都有剩余，则an，故C错误；对于D，当n时，甲、乙两容器浓度趋于相等，当xyz时，an，当xyz时，an，故选D.132解析对数不等式化为(log3xlog33a)0，所以此不等式的解为x3a或3ax0即m1时，解得x或x1；当m10，即2m0，所以1x.综上可得，当m1时，解集为；当m1时，解集为x|x1；当2m0，b0，所以ab2，即4，所以ab16，当且仅当ab4时等号成立，所以ab的最大值为16.(2)因为当x0,1
11、时，f(x)1恒成立，且2a3b3，所以且2a3b3，即作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)由图可得，可行域内的点(a，b)与点(1，1)所连直线的斜率的取值范围是，所以z1的取值范围是.19解(1)当0x40时，L(x)5100x10x2100x2 50010x2400x2 500；当x40时，L(x)5100x501x4 5002 5002 000.所以L(x)(2)当0x40时，L(x)10(x20)21 500，所以当0x1 500，所以当x100，即2020年年产量为100百辆时，该企业所获年利润最大，且最大年利润为1 800万元20解(1)由题意得a22，a31
12、.因为a11，a21，a31.所以猜想an1(nN)下面用数学归纳法证明上式成立当n1时，结论显然成立假设当nk(nN)时结论成立，即ak1，则ak11111，即当nk1时结论也成立综上可知an1(nN)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明命题a2na2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，所以a2a31，结论成立假设当nk(nN)时结论成立，即a2ka2k1f(a2k1)f(1)a2，即1a2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得ff(a2k2)f(a2)a31，故a2k31，因此a2(k1)ca2(k1)11，即当nk1时结论也成立综上可知，存在c，使a2nca2n1对所有nN恒成立
