1、专题能力训练14空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的内心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心3.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列命题:若,m,则m;若m,n,且mn,则;若m,m,则;若m,n,且mn,则.其中真命
2、题的序号是()A.B.C.D.4.已知平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.135.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PEAC,则动点P的轨迹的周长为.6.已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,则点P到平面ABC的距离为.7.(2020全国,文19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证
3、明:(1)当AB=BC时,EFAC;(2)点C1在平面AEF内.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.9.图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面A
4、BCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PEBC;(2)平面PAB平面PCD;(3)EF平面PCD.二、思维提升训练11.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图图(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.12.如图,AB是圆O的直径,点C是AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC
5、=2.(1)求证:OD平面VBC;(2)求证:AC平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.13.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是菱形,ACBD=O,PAC是边长为2的等边三角形,PB=PD=6,AP=4AF.(1)求四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD;(2)在线段PB上是否存在一点M,使得CM平面BDF?如果存在,求BMBP的值;如果不存在,请说明理由.14.如图,在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使得平面A1DE平面BCED,F为A1C的中点,如图.图图(1)求证:EF平面A1BD
6、;(2)求证:平面A1OB平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC平面EFG?说明理由.专题能力训练14空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.A解析:易知选项B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.2.A解析:如图,易知PA,PE,PF两两垂直,PA平面PEF,从而PAEF,而PO平面AEF,则POEF,EF平面PAO,EFAO.同理可知AEFO,AFEO,O为AEF的垂心.3.B
7、解析:当,m时,有m,m,m等多种可能情况,所以为假命题;当m,n,且mn时,由面面垂直的判定定理知,所以为真命题;因为m,m,所以,为真命题;若m,n,且mn,则或,相交,为假命题.故选B.4.A解析:(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成角的正弦值为
8、32.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为32.5.2+6解析:如图,设ACBD=O,连接SO,则SO平面ABCD.取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.设EF交AC于点H,连接GH,易知ACEF.又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEF=H,AC平面EFG.故点P的轨迹是EFG,其周长为2+6.6.2解析:作PD,PE分别垂直
9、于AC,BC,PO平面ABC.连接CO,OD,知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32,PCB=PCA=60.POCO,CO为ACB的平分线,OCD=45,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-2=2.7.证明(1)如图,连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故ACBD.又因为BB1平面ABCD,于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D,所以EFAC.(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.因为D1E
10、=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AEGD1.因为B1F=13BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1FC1.于是AEFC1.所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.8.(1)证明因为PC平面ABCD,所以PCDC.又因为DCAC,所以DC平面PAC.(2)证明因为ABDC,DCAC,所以ABAC.因为PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解在棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.证明如下:取PB的
11、中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.又因为PA平面CEF,所以PA平面CEF.9.(1)证明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.10.证明(
12、1)PA=PD,且E为AD的中点,PEAD.底面ABCD为矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD为矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.F,G分别为PB和PC的中点,FGBC,且FG=12BC.四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,EDBC,ED=12BC,EDFG,且ED=FG,四边形EFGD为平行四边形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.二、思维提升训练11.(1)证明在题图中,因为AB=BC=12AD=a
13、,E是AD的中点,BAD=2,所以BEAC.即在题图中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图知,A1O=22AB=22a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13SA1O=13a222a=26a3,由26a3=362,得a=6.12.(1)证明O,D分别是AB和AC的中点,ODBC.又OD平面VBC,BC平面VBC,OD平面VBC.(2)证明VA
14、=VB,O为AB中点,VOAB.在VOA和VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,VOAVOC,VOA=VOC=90,VOOC.ABOC=O,AB平面ABC,OC平面ABC,VO平面ABC.又AC平面ABC,ACVO.VA=VC,D是AC的中点,ACVD.VO平面VOD,VD平面VOD,VOVD=V,AC平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=VA2-AO2=3.点C是AB的中点,COAB,且CO=1,AB=2,ABC的面积SABC=12ABCO=1221=1,棱锥V-ABC的体积为VV-ABC=13SABCVO=1313=33,故棱锥C-ABV的体积为33.13
15、.解(1)底面ABCD是菱形,O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,POAC,POBD.ACBD=O,AC平面ABCD,BD平面ABCD,PO底面ABCD.在PAC中,AC=2,PO=3.在PBD中,PB=PD=6,BD=23.VP-ABCD=13POS菱形ABCD=13312223=2.(2)过C作CEBD交AB延长线于E,过E作EHBF交PA于H,EH与PB的交点为M.连接PE.CEBD,BD平面BDF,CE平面BDF,CE平面BDF.EHBF,BF平面BDF,EH平面BDF,EH平面BDF.又CEEH=E,CE平面CEM,EH平面CEM,平面BDF平面CEM.CM平面CEM,C
16、M平面BDF.BDCE,DCBE,四边形BECD为平行四边形,DC=BE=AB,B为AE中点.AP=4AF,EHBF,H为PA的中点,M为中线PB与中线EH的交点,M是APE的重心,BMBP=13.14.(1)证明取线段A1B的中点H,连接HD,HF.D,E分别为AB,AC的中点,DEBC,DE=12BC.H,F分别为A1B,A1C的中点,HFBC,HF=12BC,HFDE,HF=DE,四边形DEFH为平行四边形,EFHD.EF平面A1BD,HD平面A1BD,EF平面A1BD.(2)证明在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,AD=AE,A1D=A1E.又O为DE的中点,A1ODE.平面A1DE平面BCED,且A1O平面A1DE,A1O平面BCED,COA1O.在OBC中,BC=4,易知OB=OC=22,COBO,CO平面A1OB.又CO平面A1OC,平面A1OB平面A1OC.(3)解假设线段OC上存在点G,使得OC平面EFG.连接GE,GF,则必有OCGF,且OCGE.在RtA1OC中,由F为A1C的中点,OCGF,得G为OC的中点.在EOC中,OCGE,EO=EC,这显然与EO=1,EC=5矛盾.在线段OC上不存在点G,使得OC平面EFG.
