1、第六节空间图形的垂直关系1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题知识梳理一、空间图形的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直二、直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为90，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直三、直线与平面垂直1定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面2直线与平面垂直的判定.类别语言表述 应用 判定如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直(定义)证直线和平面垂直 如
2、果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 (判定定理)证直线和平面垂直 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 证直线和平面垂直 3.直线与平面垂直的性质.类别语言表述图示字母表示应用性质如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直 ab证两条直线垂直如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行ab证两条直线平行四、二面角1定义：从一条直线AB出发的两个半平面(和)所组成的图形叫做二面角记作二面角AB，AB叫做二面角的棱，两个半平面(和)叫做二面角的面2二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分
3、别在二面角的两个面，内作与棱垂直的射线OM，ON，我们把MON叫做二面角AB的平面角，用它来度量二面角的大小平面角是直角的二面角叫做直二面角五、两个平面垂直的判定和性质.1定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定和性质类别语言表述图示字母表示应用判定根据定义，证明两平面所成的二面角是直二面角AOB是二面角a的平面角，且AOB90，则证两个平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角，AOB是二面角a的平面角，则AOB90证两条直线垂直如果两个平面垂直，那么在一个平面内
4、垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面a证直线和平面垂直基础自测1已知直线m，n和平面，若，m，n，要使n，则应增加的条件是()A. mn B. nmC. n D. n解析：已知直线m，n和平面，若，m，n，根据面面垂直的性质定理，应增加条件nm，才能使得n.答案：B2(2013广东卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则解析：两个平面互相垂直，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行、可能相交、可能异面，排除选项A；两个平面互相平行，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行，可能异
5、面，排除选项B；根据面面垂直的判定定理知，选项C错误，选项D正确故选D.答案：D3如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：底面四边相等，BDAC.PA平面ABCD，BDPA.PAACA，BD平面PAC.BDPC.故当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD，从而有平面PCD平面MBD.答案：DMPC(或BMPC)4设l，m，n为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的是_若l，则l与相交；若m，n，lm，ln，则l；若lm，mn，l，则n；若lm，m，n，则l
6、n.解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题不正确；根据平行线的传递性，ln，故当l时，一定有n，命题正确；m，n，则mn，又lm，即ln，命题正确答案：1(2013新课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：显然与相交，不然由mn，与m，n为异面矛盾，排除选项A；当与相交时，设交线为l，由m平面，n平面知，lm，ln，而lm，lm，于是易知ll.故选D.答案：D2(2012江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B
7、1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明：(1) ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC.又AD平面ABC，CC1AD.又ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，平面ADE平面BCC1B1.(2) A1B1A1C1，F为B1C1的中点，A1FB1C1.CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，CC1A1F.又CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，A1F平面BCC1B1.
8、由(1)知AD平面BCC1B1，A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，A1F平面ADE.1(2013惠州一模)已知集合A、B、C，A直线，B平面，CAB.若aA，bB，cC，给出下列四个命题：ac，ac，ac，ac.其中所有正确命题的序号是_解析：对于，当c表示平面时，根据ab且cb，不一定有ac成立，可能ac，故不正确；对于，c如果是平面，a可以在平面c内，所以不正确；对于，当c表示平面时，由ab且cb不能推出ac成立，故不正确；对于，用与相同的方法，可证出ac成立，故正确综上，正确命题的序号为.答案：2(2013珠海一模)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，AC
9、CD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求证：CDAE；(2)求证：PD面ABE；(3)求二面角APDC的平面角的正弦值(1)证明：PA底面ABCD，所以CDPA.又CDAC，PAACA，故CD平面PAC，因为AE平面PAC，所以CDAE.(2)证明：PAABBC，ABC60，所以PAAC，因为E是PC的中点，所以AEPC，由(1)知CDAE，从而AE平面PCD，所以AEPD.易知BAPD，所以PD平面ABE.(3)解析：过点A作AFPD，垂足为F，连接EF.由(2)知，AE平面PCD，故AFE是二面角APDC的一个平面角设ACa，则AEa，ADa，PDa，从而AFa，故sinAFE.
