1、1.6微积分基本定理内容标准学科素养1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义；2.会用微积分基本定理求函数的积分.培养直观想象训练逻辑思维提升数学运算授课提示：对应学生用书第26页基础认识知识点一微积分基本定理已知函数f(x)2x1，F(x)x2x，则 (2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系？提示：由定积分的几何意义知， (2x1)dx(13)12，F(1)F(0)2，故 (2x1)dxF(1)F(0)知识梳理(1)微积分基本定理条件：f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)结论： f(x)dxF(b)F(a)(2)常见的原函数与被积函数关系知识点二定积分和曲边梯形面积的关系定
2、积分与曲边梯形的面积一定相等吗？提示：当被积函数f(x)0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)0不恒成立，则不相等 知识梳理设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图，则 f(x)dxS上(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图，则 f(x)dxS下(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图，则 f(x)dxS上S下特别地，若S上S下，则 f(x)dx0.自我检测1. 等于()A B2C2 D2解析答案：D2若 dx3ln 2，则a的值是()A5 B4C3 D2解析： dx 2xdx dxx2ln xa21ln a3ln
3、 2，解得a2.答案：D授课提示：对应学生用书第27页探究一利用微积分基本定理计算定积分例1计算下列定积分： 解析(1)法一：因为4xx2，所以.(2)因为(x1)5，所以 (x1)5dx(x1)6|(21)6(11)6.(3)令F(x)ln xln(x1)ln，则F(x).所以 dx dxln |ln .(4)因为3x()23x3x26x3，所以 3x2dx (3x26x3)dx(x33x23x)|(2332232)(133)19.方法技巧处理复杂定积分问题的常见策略1先化简被积函数，再求定积分当被积函数为多项式的乘积形式，或为高次幂的三角函数式时，其原函数不易直接求出，通常我们要先将被积函
4、数变形、化简为多项式，或对三角函数式降幂，再求原函数并进行定积分的计算2合理拆项适用于被积函数是分式，分母中的多项式可分解为几个因式的乘积，可进行裂项，并且裂项后仍为分式且分子中不含变量的情况跟踪探究1.计算下列定积分解析：(1) dx(ln x3sin x)|(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(2)212sin cos 1sin x， (3)(x3)(x4)x27x12， (x3)(x4)dx (x27x12)dx|0.探究二计算分段或绝对值函数的积分例2若f(x)求解析 又因为x2，(sin xx)cos x1，方法技巧分段函数定积分的求法(
5、1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪探究2.设f(x)则 1 f(x)dx的值为()A. B3 C. D.3解析：根据定积分的性质可得 根据定积分的几何意义，可得等于以原点为圆心，1为半径的圆的面积的一半，答案：A3计算解析：(1) 探究三利用定积分求参数例3(1)已知t0，f(x)2x1，若 f(x)dx6，则t_.(2)已知2 (kx1)dx4，则实数k的取值范围为_解析(1)f(x)2x1， f(x)dx (2x1)dx(x2x)|t2t，令t2t6.解得t3或t2(舍去)(2) (kx1)dx
6、|k1.令2k14，解得k2.答案(1)3(2)延伸探究(1)若将例3(1)中的条件改为 f(x)dxf，求t.解析：由 f(x)dx (2x1)dxt2t，又ft1，t2tt1，得t1.(2)若将例3(1)中的条件改为 f(x)dxF(t)求F(t)的最小值解析：F(t) f(x)dxt2t2(t0)，当t时，F(t)min.方法技巧(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念跟踪探究4.(1)若则实数a等于()
7、A1 B C1 D(2)设函数f(x)ax2c(a0)，若 f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_解析：(1) a1，所以a1，解得a.(2)因为f(x)ax2c(a0)，且ax2c，所以 f(x)dx (ax2c)dxcaxc，解得x0或x0(舍去)答案：(1)B(2)授课提示：对应学生用书第28页课后小结(1)求定积分的一些常用技巧对被积函数，要先化简，再求积分若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分(2)由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图
8、形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数素养培优(1)误判积分变量易错案例：求定积分 (t2)dx.易错分析：误认为积分变量是t而得到错误的结果，考查定义理解、数学运算等核心素养自我纠正：令F(x)(t2)x，则F(x)t2， (t2)dx(t2)x|2(t2)(t2)t2.(2)忽略函数的定义域致误易错案例：计算 dx.易错分析：解答本题易产生如下错解(ln x)， dxln x|ln(1)ln(2)事实上，(ln x)是在x0的基础上才成立的，ln(1)与ln(2)是无意的考查定义掌握、数学运算等核心素养自我纠正：如图，根据 dx的几何意义，可得 dx dxln x|ln 2(ln 1)ln 2.
