1、第四章 平面向量与复数 4.2 平面向量基本定理及坐标运算 考向归纳考向1平面向量基本定理及其应用1(2015北京高考)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.【解析】2，.，()，().又xy，x，y.【答案】2在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则_.【解析】选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得解得所以.【答案】3如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则_.【解析】由B，H，C三点共线知，k(k0,1)，则kk()(1k)k，所以(1k)，又，所以从而.【答案】应用平面向量基本定理的关键点1平面向量基本定
2、理中的基底必须是两个不共线的向量2选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来3强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便考向2平面向量的坐标运算(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图422所示，若cab(，R)，则_.图422(2)已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，求；若mn，求m，n；若(R)，试求为何值时，点P在一、三象限的角平分线上【解析】(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1
3、)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，4.【答案】4(2)(5,4)(2,3)(3,1)(7,10)(2,3)(5,7)，(7,10)(5,4)(2,6)，mnm(5,7)n(2,6)(5m2n,7m6n)mn(3,1)，设P(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3)(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(35，17)，若点P在一、三象限的角平分线上，则5547，.平面向量坐标运算的技巧1向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求
4、向量的坐标2解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解变式训练1设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c_(用坐标表示)【解析】设c(x，y)，a(1，3)，b(2,4)，4a(4，12)，3b2a(8,18)，又由表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a(3b2a)c0，即(4，12)(8,18)(x，y)(0,0)，x4，y6，c(4，6)【答案】(4，6)2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc
5、的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)考向3平面向量共线的坐标表示(1)已知a(1,2)，b(3,2)且kab与a3b共线，则k_.(2)(2014陕西高考)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.【解析】(
6、1)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，由题意知(k3)(4)(2k2)100，解得k.(2)因为ab，所以sin 2cos2 ，2sin cos cos2 .因为0，所以cos 0，得2sin cos ，所以tan .【答案】(1)(2)平面向量共线的坐标表示的两个注意点1两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则ba，应视题目条件灵活选择2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解变式训练1已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)c，则()A. B. C1 D2【解析】ab(1,2)(1,0)(1，2)，c(3,4)，由(ab)c得4(1)6，.【答案】B2已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.【解析】由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，cos 或，又为锐角，45.【答案】45
