1、3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学 习 目 标核 心 素 养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用(重点)1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养1两条直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：AxByC0点A在直线l上AaBbC0直线l1与l2的交点是A方程组的解是2.两直线的位置关系法一：代数法直线l1，l2联立得方程组(代数问题)(几
2、何问题)法二：几何法(前提条件：系数均不为零)3两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|(2)两点间距离的特殊情况原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|当P1P2x轴(y1y2)时，|P1P2|x2x1|当P1P2y轴(x1x2)时，|P1P2|y2y1|思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|的形式？提示可以，原因是，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分1直线x1和直线y2的交点坐标是()A(2，2)B(1，1)C(1，2)D(2，1)C由得交点坐标为(1，2)，故选C.
3、2已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为()A5 B C3 DB由平面内两点间的距离公式可知|AB|.3已知ABC的顶点A(2，3)，B(1，0)，C(2，0)，则ABC的周长是()A2 B32C63 D6C|AB|3，|BC|3，|AC|3，则ABC的周长为63.4已知点A(2，1)，B(a，3)，且|AB|5，则a的值为_1或5由两点间距离公式得5，解得a1或5.两直线的交点问题【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.解(1)方
4、程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1).(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在1判断下列各对直线的位置关系若相交，求出交点坐标：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：xy20，l2：2x2y30.解(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(1，1).(2)解方程组2，得10，矛盾，方程组无解所以直线l1与l2无公共点，即l1l2.两点间距离
5、公式的应用【例2】已知ABC三顶点坐标A(3，1)，B(3，3)，C(1，7)，试判断ABC的形状解法一：|AB|2，|AC|2，又|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形法二：kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|.ABC是等腰直角三角形1判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向2在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理2若等腰三角形ABC的顶点A(3，0)，
6、底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰ABC的腰长解因为|BD|=|BC|=2，因为|AD|2.在RtABD中，由勾股定理得|AB|2.所以等腰ABC的腰长为2.经过两条直线交点的直线方程探究问题1. 如何求两条直线的交点坐标？提示求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可2已知直线过一定点如何求其方程？提示已知直线过定点求其方程，若斜率存在只需求出斜率即可3怎样表示过两条直线交点的直线系方程？提示过两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程).【例3】求过两直线2x3y30和x
7、y20的交点且与直线3xy10平行的直线方程思路探究：解法一：解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3，即15x5y160.法二：设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.1本例中将“3xy10”改为“x3y10”，则如何求解？解由例题知直线2x3y30和xy20的交点坐标为，直线l与x3y10平行，故斜率为，所以直线l的方程为y，即5x15y240.2本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？解设
8、所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得，所以所求直线方程为5x15y180.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程3直线l经过原点，且经过另两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为()A2xy0B2xy0Cx2y0 Dx2y0B设所求直线方程为2x3y8(xy1)0
9、，即(2)x(3)y80，因为l过原点，所以8.则所求直线方程为2xy0.1方程组有唯一解的等价条件是A1B2A2B10.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10.直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20交点的直线(不含l2).2解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法3两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想1已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的
10、交点是()A.BC DB由得2已知点M(1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是()A.x3y80Bx3y80Cx3y90 D3xy40D由两点间距离公式得，整理得3xy40.3直线ax2y80，4x3y10和直线2xy10相交于一点，则a的值为_1由得把x4，y2代入ax2y80得4a480，解得a1.4已知A(1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则_2由两点间的距离公式，得|AC|4，|CB|2，故2.5已知点A(1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值解设所求点P(x，0)，于是由|PA|PB|得，即x22x5x24x11，解得x1.所以，所求P点坐标为(1，0)，|PA|2.
