1、专题 10极坐标与参数方程命题趋势极坐标与参数方程是高考的选考内容之一，考查的形式主要为解答题通常第一问比较简单，一般为极坐标方程与普通方程的互换，参数方程与普通方程的互换；第二问一般以直线与圆的位置关系或直线与圆锥曲线的位置关系作为背景，考查极坐标方程中的的几何意义，或者是参数方程中参数的几何意义，整体难度中等考点清单1平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个
2、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)一般地，不做特殊说明时，我们认为0，可取任何实数注：极坐标(，)与(，+2k)(kZ)表示同一个点极点O的坐标为(0，)(R)若0，规定点(-，)与点(，)关于极点对称，即(-，)与(，+)表示同一点如果规定0，00，02或0，-等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的，即一个点
3、的极坐标是不唯一的3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，从图中可以得出：x=cos,y=sin,2=x2+y2，4常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为的直线（1）=R和=+R（2）=(0)和=+(0)过点，与极轴垂直的直线过点，与极轴平行的直线sin=a0过点，倾斜角为的直线sin-=asin圆心为极点，半径为a的圆=a02圆心为，半径为a的圆圆心为，半径为a的圆=2asin00关于C1对称（1）求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程；（2）已知曲线与两坐标轴正半轴交于A、B两点，P为上任一点，求ABP的面积的最大值【答案】（
4、1）；C2:x-42+y2=16；（2）【解析】（1），消去t，得x-y=4又，代入x-y=4，得，所以C1的极坐标方程为；C2:=2acosa0化为x-a2+y2=a2a0，又C2关于C1:x-y=4对称，a，0C1，a=4，C2:x-42+y2=16（2）由（1）知a=4，A4，0，B0，23，AB=27，易得lAB:3x+2y-43=0，设P4cos，23sin到lAB的距离为d则，当时，d有最大值【点评】本题关键在于准确运用x=cos，y=sin进行由极坐标方程向直角坐标方程转化，以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值2在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0，2)，倾斜角为以原点O为极
5、点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2-2sin=0（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为AB中点，且满足|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，求直线l的斜率【答案】（1）l的参数方程为 (t为参数)，C的直角坐标方程为x2=2y；（2）斜率为2【解析】（1）因为直线l过点P(0，2)，倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数) 因为cos2=2sin，所以2cos2=2sin，所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y（2）将直线l的参数方程为(t为参数)，代入x2=2y可得：cos2t2-2tsin-4=0，设A，
6、B所对应的参数为t1，t2，所以，因为|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，所以，即，解得tan2=4，tan=2，故直线l的斜率为2【点评】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题3在直角坐标系xOy中，已知点M(2，0)，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=0(0)，点Q是C1与C2的公共点（1）当时，求直线MQ的极坐标方程；（2）当时，记直线MQ与曲线C1的另一个公共点为P，求
7、|MP|MQ|的值【答案】（1）cos+3sin-2=0；（2）3【解析】（1）曲线C1的普通方程是x2+y2=1，当时，点Q的坐标为，直线MQ的普通方程为x+3y-2=0，所以直线MQ的极坐标方程为cos+3sin-2=0（2）当时，点Q的坐标为，所以MQ的斜率为，所以直线MQ的参数方程为(t为参数)，代入x2+y2=1并化简得，设它的两根为t1，t2，则|MP|MQ|=t1t2=3【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义其中第二问解题的关键在于根据题意写出直线MQ的参数方程为(t为参数)，进而利用直线参数方程几何意义求解4在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方
8、程为（t为参数，t，R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C1与C2的交点分别为A，B，求OAB的面积的最小值【答案】（1）C1:xsin-ycos-2sin=0，曲线C1表示过点的直线；C2:y2=2x，曲线C2表示抛物线；（2）4【解析】（1）由（t为参数），消去t得C1:ycos=x-2sin，即xsin-ycos-2sin=0，曲线C1表示过点2，0的直线由C2:sin2-2cos=0，得将x=cos，y=sin代入C2的方程得y2=2x，曲线C2表示抛物线（2）由于
9、直线C1过定点2，0，由题意可设C1:x=my+2联立，消去x得y2-2my-4=0设Ax1，y1，Bx2，y2，则y1+y2=2m，y1y2=-4，且C1与x轴的交点为2，0，所以，所以当m=0时，SOAB取得最小值4【点评】本题考查直线的参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，以及直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值问题，属于中档题5数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C：=sin3（R，）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）射线l1，l2的极坐标方程分别为=0，（，0），l1，l2分别交曲线C于点M，N两点，求的最小值【答案】（1），；（2）4【解析】（1）将单位圆与三叶玫瑰线联立，解得sin3=1，所以，因为，所以取k=0，1，2，得，从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为，（2）将=0，代入C：，点M，N所对应的极径分别为1，2，所以1=sin30，2=-cos30，即，ON2=cos230，当且仅当tan230=1时，取得最小值4【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
