1、第3讲函数的奇偶性与周期性一、填空题1若函数f(x)m为奇函数，则实数m_.解析由题意，得f(0)0，所以m0，即m1.答案12设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(1)1，则f(2 011)_解析因为f(x)f(x)，f(x3)f(x)，f(1)1，所以f(1)1，f(2 011)f(36701)f(1)1.答案13已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)_.解析 f(x)为R上的奇函数，f(2)f(2)又当x2时，f(2)2231，f(2)1.答案 14设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1x)f(1x)0恒成立如果实数m、n满足不等式
2、组那么m2n2的取值范围是_解析 考查函数单调性及对称性，举特殊函数是解决此类问题的一个重要方法如：f(x)x1，f(x1)f(1x)0，所以f(x)的对称中心为(1,0)，不等式组由图可知OA最小，OA，OB最大，OB7，m2n2(13,49)答案 (13,49)5设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)_.解析 由f(x)f(x2)13得f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)f(x)是以4为周期的周期函数f(99)f(2541)f(1).答案 6设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是_答案 7已知定
3、义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x)，且函数yf为奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图象关于点对称；函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R上的单调函数其中真命题的序号为_答案 8若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：f(x)是周期函数；f(x)关于直线x1对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)其中正确的序号是_解析f(x1)f(x)，f(x)f(x1)f(x11)f(x2)，f(x)是周期为2的函数，正确又f(x2)f(x)f(x)，f(x)f(2x
4、)，yf(x)的图象关于x1对称，正确又f(x)为偶函数且在1,0上是增函数，f(x)在0,1上是减函数又对称轴为x1，f(x)在1,2上为增函数，f(2)f(0)，故错误，正确答案9已知函数f(x)x2cos x，x，则满足f(x0)f的x0的取值范围为_解析f(x)2xsin x，在区间内f(x)0，f(x)在区间内单调递增，此时由f(x0)f得x0，易证f(x)是偶函数，x0也符合题意答案10已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x)，且函数yf为奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图象关于点对称；函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R上的单调函数
5、其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析由ff(x)，得f(x3)ff(x)，所以正确由yf为奇函数，得f(x)图象关于点对称，所以不正确由ff，得f(x)f，又ff(x)，所以ff，所以f(x)是偶函数，正确由正确知不正确答案二、解答题11设f(x)exaex(aR，xR)(1)讨论函数g(x)xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是偶函数，解不等式f(x22)f(x)解(1)a1时，f(x)exex是偶函数，所以g(x)xf(x)是奇函数；a1时，f(x)exex是奇函数，所以g(x)xf(x)是偶函数a1，由f(x)既不是奇函数又不是偶函数，得g(x)xf(x)是非奇非偶函数(2)当g(x)是偶函数时，a1，f(x)exex是R上的单调递增函数，于是由f(x22)f(x)得x22x，即x2x20，解得1x2.12.已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，求实数a的取值范围解(1)当a0时，f(x)x2(x0)为偶函数；当a0时，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)设x2x12，则f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，由x2x12，得x1x2(x1x2)16，x1x20.要使f(x)在区间2，)上是增函数，只需f(x1)f(x2)0恒成立，则a16.
