1、基本不等式专项练习一、 基本不等式使用条件的判断1、下列不等式恒成立的是（）A BCDa2b22ab2、已知，则在下列不等式；其中恒成立的是()A. B. C. D.3、不等式a24中，等号成立的条件是()Aa4 Ba Ca Da4、若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（）A0B1C2D35、“a，b为正数”是“ab2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6、对于任意的a，bR，下列不等式不正确的是()Aa2b22ab BabC2 D 7、下列不等式一定成立的是()A.(x0) Bx2(x0)Cx212|x|(xR
2、) D.1(xR)8、已知a，b为正实数，则“2”是“ab16”的()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件9、下列说法不正确的有()A若x2，则4C若x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最大值是2D若x1，则有最大值 5 10、(多选)设a，bR，则下列不等式一定成立的是()Aa2b22ab Ba2Cb212b D.211、(多选)下列不等式中正确的有（）A若，则B若，则C若，则D若，则12、(多选)设a0，b0，下列不等式恒成立的是()Aa21a B4C(ab)4 Da296a13、(多选)已知，则下列不等式成立的是（）ABCD14、(多选)若x0，y0且x
3、y4，则下列不等式中恒成立的是()A. B1 C.2 D115、(多选)设a0，b0，则（）ABCD16、(多选)下列命题正确的是（）A，B若，则的最小值为4C若，则的最小值为3D若，则的最大值为217、(多选)下列说法中，正确的有（）A的最小值是2B的最小值是2C若，则D若，则二、 不等式的证明1、已知，求证.2、证明：已知都是正数，求证： 3、已知，且abc=1.求证：；4、若，求证：5、已知都是正数，求证：因为都是正数，6、证明：（1）；（2）.7、已知a，b，c均为正实数，abc1，证明：.8、设a，b，c都是正数，试证明不等式：6.9、已知都是正数，求证：(1)；(2)若，则.10、
4、已知a，b，c为正数.求证：.11、已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)三、利用基本不等式求最值直接法（基本不等式的直接应用）1、 若x0，y0，且2xy1，则xy的最大值是()A. B4 C. D84、若x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D826、已知x0，y0，且x2y2，则xy()A有最大值为1 B有最小值为1C有最大值为 D有最小值为7、若x0，y0，且xy18，则 的最大值为()A9 B18 C36 D818、设，则下列不等式中一定成立的是（）ABCD9、已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a()A24 B28 C32
5、D3610、已知a0，b0，则4ab的最小值是()A2 B2 C4 D511、已知t0，则函数y的最小值为()A2 B C1 D212、当x_时，x2取得最小值，最小值是_13、设0x0，则y33x的最大值为_16、已知x0，y0，且满足1，则xy的最大值为_，取得最大值时y的值为_配凑法1、若x2，则函数yx的最小值为()A3 B4 C5 D62、函数的最小值为（）A3B2C1D03、函数的最小值为（）A8B7C6D54、若4x1，则()A有最小值1B有最大值1 C有最小值1 D有最大值15、3x2的最小值是()A33B3 C6 D636、已知0x0，则y33x的最大值是()A3 B32 C
6、32 D19、已知x，y为正实数，则的最小值为()A B C D310、下列命题中不正确的是( )Ayx的最大值是2 By的最小值是2Cy23x的最大值是24 Dyx最小值是511、若x1，则x的最小值为_12、函数y(x1)的最小值为_.13、已知，则的最小值为_.14、函数y(x1)的最小值为_15、若x0，ab2，则下列不等式不一定成立的是()Aab1 B2C2 Da2b2210、已知x0，y0且xy1，则pxy的最小值为()A3 B4 C5 D611、已知实数x，y满足x0，y0，且1，则x2y的最小值为()A2 B4 C6 D812、已知a0，b0，且4，则4a6b的最小值是()A4
7、 B42 C82 D413、已知，且，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件14、设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（）A上的最小值为2B的最大值为2C的最大值为4D的最小值为15、已知a0，b0，a3b2，则的最小值为_.16、已知a0，b0，ab1，则的最小值为_17、已知a0，b0，4ab4，则的最小值为_18、已知x，yR，x2y1，则的最小值为_.19、已知x0，y0，且2x8yxy0，则xy的最小值为_20、已知，且，则的最小值为_21、若，则当_时，取得最小值22、已知x0，y0，且1，求xy的最小值变式1：条件变为“x0，y0，
8、2x8yxy”，其余不变，求xy的最小值变式2：条件变为“xy1，x0，y0”，试求的最小值消元法1、 已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A2BCD62、已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是()A1 B3 C6 D123、若a0，且ab0，则a1的最小值为_4、已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_.5、已知x0，且xy1，则x的最大值是_四、基本不等式中的恒成立问题1、若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()Aa Ba Ca0，y0，且2xy2，若对任意的x0，y0恒成立，则实数m的值不可能为()A. B C D24、若正实数x，y满足
9、xy2，且M恒成立，则M的最大值为_.5、若对任意恒成立，则实数a的取值范围是_6、已知对任意正实数，恒有，则实数的最小值是_.7、设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的取值范围是_8、已知x0，y0且xy2.则的最小值为_；若8x2mxy0恒成立，则m的最大值为_9、设0m0，b0) B.(a0，b0)C.(a0，b0) Da2b22ab(a0，b0)3、某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是()A4.6 m B4.8 m C5 m D5.2 m4、 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(
10、ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav Bv C.v Dv5、某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，tN)的关系为st223t64，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为()A5 B6 C7 D86、高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，设物体的真实质量为，则()A BCD7、志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AECE，ABAD，矩形
11、的周长为8 cm.(1)设ABx cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽8、2020年1月， 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元问：(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？(2)为使S达到最大，且实际造价又不超过预
12、算，那么正面复合板应设计为多长？9、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价10、某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2022年生产该产品的固定投入为8万元每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本
13、的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？11、某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2023年生产该产品的固定投入为8万元每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费
14、用m万元的函数；(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？基本不等式专项练习（答案）三、 基本不等式使用条件的判断1、下列不等式恒成立的是（D）A BCD2、已知，则在下列不等式；其中恒成立的是(C)A. B. C. D.3、不等式a24中，等号成立的条件是(D)Aa4 Ba Ca Da4、若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（C）A0B1C2D35、“a，b为正数”是“ab2”的(D)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6、对于任意的a，bR，下列不等式不正确的是(C)Aa2b22ab BabC2
15、 D 7、下列不等式一定成立的是(C)A.(x0) Bx2(x0)Cx212|x|(xR) D.1(xR)8、已知a，b为正实数，则“2”是“ab16”的(B)A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件9、下列说法不正确的有(A)A若x2，则4C若x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最大值是2D若x0，b0，c0，所以2，2，2，所以6，当且仅当，即abc时，等号成立所以6.9、已知都是正数，求证：(1)；(2)若，则.解：(1)，都是正数，当且仅当“”时等号成立，.(2)，当且仅当“”时等号成立，.10、已知a，b，c为正数.求证：.解：因为，同理，所以三式相加得
16、，所以，当且仅当“”时等号成立11、已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)解：（1）证明：左边，当且仅当时取“”故（2）证明：因为，当且仅当时取“”，所以，所以，所以，同理，当且仅当时取取“”，当且仅当时取“”+，得，当且仅当时等号成立三、利用基本不等式求最值直接法（基本不等式的直接应用）1、若x0，y0，且2xy1，则xy的最大值是(C)A. B4 C. D84、若x0，y0，且xy18，则xy的最大值为(C)A80 B77 C81 D826、已知x0，y0，且x2y2，则xy(C)A有最大值为1 B有最小值为1C有最大值为 D有最小值为7、若x0，y0，且xy18，则 的最大值为(
17、A)A9 B18 C36 D818、设，则下列不等式中一定成立的是（AB）ABCD9、已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a(D)A24 B28 C32 D3610、已知a0，b0，则4ab的最小值是(C)A2 B2 C4 D511、已知t0，则函数y的最小值为(A)A2 B C1 D212、当x_1_时，x2取得最小值，最小值是_2_13、设0x0，则y33x的最大值为_32_16、已知x0，y0，且满足1，则xy的最大值为_3_，取得最大值时y的值为_2_配凑法1、若x2，则函数yx的最小值为(D)A3 B4 C5 D62、函数的最小值为（D）A3B2C1D03、函数的
18、最小值为（D）A8B7C6D54、若4x1，则(D)A有最小值1B有最大值1 C有最小值1 D有最大值15、3x2的最小值是(D)A33B3 C6 D636、已知0x0，则y33x的最大值是(C)A3 B32 C32 D19、已知x，y为正实数，则的最小值为(D)A B C D3（由题意得x0，y0，121413.当且仅当x3y时等号成立）10、下列命题中不正确的是( B)Ayx的最大值是2 By的最小值是2Cy23x的最大值是24 Dyx最小值是511、若x1，则x的最小值为_5_12、函数y(x1)的最小值为_22_.13、已知，则的最小值为_9_.（，当且仅当时等号成立，取等条件满足，所
19、以的最小值为9.）14、函数y(x1)的最小值为_0_15、若x0，ab2，则下列不等式不一定成立的是(C)Aab1 B2C2 Da2b2210、已知x0，y0且xy1，则pxy的最小值为(C)A3 B4 C5 D6（pxy3325，当且仅当xy时等号成立）11、已知实数x，y满足x0，y0，且1，则x2y的最小值为(D)A2 B4 C6 D812、已知a0，b0，且4，则4a6b的最小值是(B)A4 B42 C82 D413、已知，且，则“”是“”的（A）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件14、设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（A）A上的最小值为2B的最
20、大值为2C的最大值为4D的最小值为15、已知a0，b0，a3b2，则的最小值为_.16、已知a0，b0，ab1，则的最小值为_9_17、已知a0，b0，4ab4，则的最小值为_18、已知x，yR，x2y1，则的最小值为_22_.19、已知x0，y0，且2x8yxy0，则xy的最小值为_18_20、已知，且，则的最小值为_21、若，则当_时，取得最小值22、已知x0，y0，且1，求xy的最小值解：x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，xy的最小值为16.变式1：条件变为“x0，y0，2x8yxy”，其余不变，求xy的最小值解：由2x
21、8yxy0，得y(x8)2x.x0，y0，x80，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立，xy的最小值是18.变式2：条件变为“xy1，x0，y0”，试求的最小值解：由(xy)1010216，当且仅当9x2y2即y3x，得x，y时，取“”，的最小值为16.消元法1、已知正实数a，b满足，则的最小值是（B）A2BCD6（由，得，所以，当且仅当，即取等号.）2、已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是(B)A1 B3 C6 D12（x22xy30，y，2xy2x23当且仅当，即x1时取等号）3、若a0，且ab0，则a1的最小值为_3_（由ab0，且a0
22、，得ba，0，所以a1a13，当且仅当a1，b1时取等号）4、已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_.（5x2y2y41，y0且x2.x2y2y22，当且仅当，即x2，y2时取等号x2y2的最小值为.）5、已知x0，且xy1，则x的最大值是_四、基本不等式中的恒成立问题1、若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为(A)Aa Ba Ca0，y0，且2xy2，若对任意的x0，y0恒成立，则实数m的值不可能为(B)A. B C D24、若正实数x，y满足xy2，且M恒成立，则M的最大值为_1_.5、若对任意恒成立，则实数a的取值范围是_6、已知对任意正实数，恒有，则实
23、数的最小值是_2_.7、设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的取值范围是_k4_8、已知x0，y0且xy2.则的最小值为_8_；若8x2mxy0恒成立，则m的最大值为_8_（(xy)(102)8，当且仅当y3x时取到等号，故的最小值为8，即88，而8x2mxy08xxymxy0，即m，由8可知，m8，故m的最大值为8.）9、设0m0，b0) B.(a0，b0)C.(a0，b0) Da2b22ab(a0，b0)3、某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是(C)A4.6 m B4.8 m C5 m
24、D5.2 m4、小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则(A)Aav Bv C.v Dv5、某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，tN)的关系为st223t64，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为(D)A5 B6 C7 D86、高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，设物体的真实质量为，则(C)A BCD7、志愿者团队要设计一个如图所示的
25、矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AECE，ABAD，矩形的周长为8 cm.(1)设ABx cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽解：(1)由题意可得AD(4x)cm，且x4x0，可得2x4.则CEAExDE，在RtADE中，AE2AD2DE2，即(xDE)2(4x)2DE2，化简得DE4(2x4)（2）SADEADDE(4x)22128，当且仅当x2时取等号，此时4x42，即队徽的长和宽分别为2 cm，(42)cm时，ADE的面积取得最大值8、2020年1月， 在抗击新型冠状病毒感
26、染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元问：(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？(2)为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？解：(1)设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则方舱医院的面积Sxy，总造价z40x245y20xy40x90y20xy.由条件知z188 000，即4x9y2xy18 8
27、00.x0，y0，y.令t92x，则x(t9)，Sxy9 41829 41823979 4188 836，当且仅当t，即t291时等号成立故S的最大值为8 836 m2.(2)由(1)知，当S8 836 m2时，t291，t92x，x141，则y.方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.9、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总
28、造价解：设隔墙的长度为x m，总造价的函数为y元，则隔墙造价为2x248496x元，池底造价为2008016 000元，四周围墙造价为400800元因此，总造价为y496x80016 000(0x50)1 296x16 0002 16 00028 80016 00044 800.当且仅当1 296x，即x时，等号成立这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元10、某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1
29、万件已知2022年生产该产品的固定投入为8万元每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意知，当m0时，x1，13kk2，x3，每件产品的销售价格为1.5(元)，2022年的利润y1.5x816xm48xm48m29(m0)(2)当m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1，即m3时，y取得最大值故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大1
30、1、某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2023年生产该产品的固定投入为8万元每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意知，当m0时，x1，所以13kk2，所以x3，每万件产品的销售价格为1.5(万元)，所以2023年的利润y1.5x816xm48xm48m29(m0).(2)因为m0时，(m1)228，所以y82921，当且仅当m1，即m3时，ymax21.故该厂家2023年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元
