1、高中物理万有引力定律的拓展应用一、考点突破知识点考纲要求题型分值万有引力万有引力定律的拓展，并会证明会利用割补法的思想计算空腔中的万有引力问题选择题6分二、重难点提示重点：会用割补法转换研究对象解决疑难问题。难点：匀质球层对球内任意位置的物体的引力为0。应用万有引力定律求物体间的引力时，因注意其适用条件，只有当两物体可视为质点时，才能认为R为两物体间的距离。对于球壳类则不能视为质点，则必须采取其他的解决办法。这里我们给出结论：一质点在均匀球壳空腔内任意一点受到球壳的万有引力为零。如图所示，一个匀质球层可以等效为由许多厚度足够小的匀质球壳组成，任取一个球壳，设球壳内有一个质量为m的质点，某时刻质
2、点在P位置（任意位置）处，以质点（m）所在位置P为顶点，作两个底面面积足够小的对顶圆锥，这时，两个圆锥底面不仅可以视为平面，还可以视为质点。 P m设空腔内质点m到两圆锥底面中心的距离分别为，两圆锥底面的半径为，底面面密度为。根据万有引力定律，两圆锥点面对质点的引力可以表示为：，根据相似三角形对应边成比例，有，则两个万有引力之比，因为两万有引力方向相反，所以引力的合力。依此类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合力为零，故由多个球壳组成的球层对质点的合引力为零，即例题1 证明：在匀质实心球体内部距离球心r处，质点受到该球体的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力，即
3、，其中表示同样材质、半径为r的匀质球体的质量。思路分析：如图所示，设匀质球体的质量为M，半径为R；其内部半径为r的匀质球体的质量为，与球心相距r处的质点m受到的万有引力，可以视为厚度为（Rr）的匀质球层和半径为r的匀质球体的引力的合力，根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到的万有引力就等于半径为r的匀质球体的引力，即。若已知匀质球体的总质量为M，则，故当r=0时，有，；当r=R时，有。答案：见思路分析。点拨：本题得到的结论为万有引力定律拓展的推论，可作为结论使用。例题2 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的
4、重力加速度大小之比为（）A. B. C. D. 思路分析：令地球的密度为，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有由于地球的质量为：M=，所以重力加速度的表达式可写成：g=GR。 根据题意，有质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（Rd）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g=G(Rd)。所以有答案：A【高频疑点】 割补法在万有引力中的应用对某些物理题，当待求的A直接求解困难时，可想法补上一个B，补偿的原则是使得A+B变得易于求解，而且补上去的B也容易求解。那么，待求的A可以从两者的差值获得，问题就迎刃而解了。【满分训练】如
5、图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方。求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?（1）从球的正中心挖去。（2）从与球面相切处挖去；并指出在什么条件下，两种计算结果相同?思路分析：根据匀质球的质量与其半径的关系，两部分的质量分别为 ，。 （1）如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为 （2）如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算。为此，可利用等效割补法，先将M转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为。 由于填补空心球而增加的引力为 所以，这时M与m之间的引力为 ， 当d远大于R时，M可以视为质点。这时，引力变为 。即这时两种计算结果相同。答案：见思路分析。
