1、2020届南昌市八一中学高三理科数学第三次模拟考试卷一、选择题（共12小题）1.已知集合 A ，集合 B 满足 A B A，则 B可能为( ) A. B. C. D. 2.已知复数z满足 （i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知角终边上一点的坐标为，则（ ）ABCDA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）（）A2019年1至4月的快递业务收入在3月
2、最高，2月最低，差值超过20000万元B2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致6.若a，b为正实数，直线4x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直，则ab的最大值为（ ）A B C D72019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：day），2020年3月14日是第一个“国际数学日”。圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。有许多奇妙性质，如莱布
3、尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等。小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与非常近似，则、中分别填入的可以是AS（1）i1，ii+2 BS（1）i1，ii+1CSS+（1）i1，ii+2 DSS+（1）i1，ii+18已知函数ysinax+b（a0）的图象如图所示，则函数y loga（xb）的图象可能是（）A B C D9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史， 且长盛不衰，传遍全球,为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶” 中所放茶叶量x克与食客的满意率y的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型来
4、拟合y与 x的关系，根据以下数据：可求得y关于x的回归方程为A. B. C. D. 10已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于，两点，若，则抛物线的方程是（ ）A. B. C. D. 11如图所示，三棱锥S一ABC中，ABC与SBC都是边长为1的正三角形，二面角ABCS的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为A B C D312若函数f（x）2x+sinxcosx+acosx在（，+）单调递增，则a的取值范围是（）A1，1B1，3C3，3D3，1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知，且，则向量与的夹角为_15在棱长为3的正方
5、体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是棱B1C1，C1D1的中点，过A，M，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面ADD1A1作投影，则投影图形的面积为 16. 已知函数，若在区间上方程只有一个解，则实数的取值范围为_.三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，S36，a3是a1与a9的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）设数列，数列bn的前2n项和为，若，求正整数n的最小值。18.如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，（）证明：；（）若平面平面，为的中点，求与平面所成角的正弦值19. 阿基米
6、德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”。他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的
7、人数；（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.20. 已知椭圆与抛物线有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线（点F在此直线右侧）的距离的一半。（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由21 （12分）已知函数（1）当时，总有，求m的最小值（2）对于0，1中任意x恒有，求a的取值
8、范围 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为。以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；（2）设P是椭圆上的动点，求PMN面积的最大值23. （10分）设函数（1）当a1，b1时，求不等式的解集； （2）若f（x）的最小值为2，求的最小值南昌市八一中学2020届高三数学三模试卷（理科）参考答案一、选择题（共12小题） DDCAC BDCDC AA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2
9、0分13 14. -80 15 16. 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 解：（1）公差d不为零的等差数列an，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）（a1+2d）2，化为a1d，又S33a1+3d6，可得a1d1，所以数列an是以1为首项和公差的等差数列，故综上；(5分）（2）由（1）可知，(7分）所以，(10分）所以，故n的最小值为505(12分）18. 证明：（）取中点，连接，三棱柱的所有棱长均为2，和是边长为2的等边三角形，且，平面，平面平面，平面，平面，(6分）另证：平面（）平面平面，且交线为，由（）知，平面则，两两垂直
10、，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则，为的中点，设平面的法向量为，则，取，得 设与平面所成的角为，则 与平面所成角的正弦为(12分）19. 解：（1）依题意填写列联表如下：比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算，没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.(5分）（2）（i）抽取的文科生人数是（人），理科生人数是（人）.(7分）（ii）的可能取值为0，1，2，3，则，.(10分）其分布列为0123所以.(12分）20.解：（1）由题意知F（1，0），因而c1，即a2b2+1，又两曲线在第二象限内的交点Q（xQ，yQ）到F的距离是它到直线
11、x4的距离的一半，即4+xQ2（xQ+1），得，则，代入到椭圆方程，得 由，解得a24，b23，所求椭圆的方程为 (5分）（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为yk（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120，设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，(7分）由于OABM为平行四边形，得，故， 若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解(10分）当直线斜率不存在时，易知存在点M（2，0）在椭圆C上故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（2，0）落在椭圆C上(12分）21 解：（1）令
12、，则（x）x+mln（x+1）1，（x）在0，+）上单调递增，且（0）m1，若m1，（x）在0，+）上单调递增，（x）（0）0，即m1满足条件，若m1，（0）m10，（x）存在单调递减区间0，x0，又（0）0所以存在x0使得（x0）0与已知条件矛盾，所以m1，m的最小值为1(4分）（2）由（1）知，如果，则必有f（x）g（x）成立令，则h（x）（a1）xxcosxx（a1cosx），h（x）x（a1cosx）0，则a1cosx0，a1+cosx，a2若h（x）0，必有f（x）g（x）恒成立，故当a2时，f（x）g（x）恒成立，(8分）下面证明a2时，f（x）g（x）不恒成立令f1（x）f（x）
13、x（x+1）ln（x+1）x，f1（x）ln（x+1），当x0时，f1（x）ln（x+1）0，f1（x）在区间0，1上单调递增，故f1（x）f1（0）0，即f1（x）f（x）x0，故xf（x）g（x）f（x）g（x）x，令，0，所以t（x）在0，1上单调递增，t（0）a20，则一定存在区间（0，m）（其中0m1），当x（0，m）时，t（x）0，则g（x）f（x）xt（x）0，故f（x）g（x）不恒成立综上所述：实数a取值范围是2，+）(12分） 选做题(10 分)22.解：（1）曲线C的方程为x22x+y20转换为极坐标方程为：2cos联立，得M（0，0），(5分）（2）易知|MN|1，直线设点P（2cos，sin），则点P到直线l的距离（其中 ）PMN面积的最大值为(10分）23.解：（1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3，当x1时，可得x1+x+13，解得1x；当1x1时，可得x+1+x+13，得23成立；当x1时，可得x+1x13，解得x1综上所述，原不等式的解集为x|x；(5分）（2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa）（x+b）0时等号成立f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|2又ab0，|b+a|a|+|b|2，当且仅当时，等号成立，的最小值为(10分）
