1、第一章 三 角 函 数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任 意 角 必备知识自主学习 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所形成的图 形.旋转 2.角的表示 顶点:用O表示;始边:用OA表示,用语言可表示为_.终边:用OB表示,用语言可表示为_.起始位置 终止位置 3.角的分类 类型 定义 图示 正角 按_方向旋转 形成的角 负角 按_方向旋转 形成的角 零角 一条射线没有作_ _,称它形成 了一个零角 逆时针 顺时针 任 何旋转 【思考】如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗?提示:不一定,零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角
2、,如360,-360等,角的大小不是根据始边、终边的位置,而是根据射线的旋转.4.象限角 如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的_重合,那么,角的终边 在_,就说这个角是_角.如果角的终边在 _上,就认为这 个角不属于任何一个象限.非负半轴 第几象限 第几象限 坐标轴 5.终边相同的角 所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合S=_ _,即任一与角 终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周角的 和.(1)本质:满足某一特定条件的角的同一表示.(2)作用:判断角所在的象限;表示角的集合;求角的三角函数值.|=+k 360,kZ【思考】反过来,若角,满足S=|=+k360,kZ时
3、,角,是否是终边相同的角?提示:当角,满足S=|=+k360,kZ时,表示角 与 相隔整数个周角,即角,终边相同.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)-30角与330角是终边相同的角.()(2)负角都是第四象限角.()(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.()(4)终边相同的角有无数个,它们相差360的整数倍.()2.与-457角终边相同的角的集合是()A.|=k360+457,kZ B.|=k360+97,kZ C.|=k360+263,kZ D.|=k360-263,kZ【解析】选C.-457=-2360+263.所以-457角与263角终边相同.3.(
4、教材二次开发:练习改编)-870角的终边所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为-870=-3603+210,所以210角与-870角的终边相同,又因为210角的终边在第三象限,所以-870角的终边也在第三象限.关键能力合作学习 类型一 任意角的概念及应用(数学抽象)【题组训练】1.给出下列说法:锐角都是第一象限角;第一象限角一定不是负角;钝角是第二象限角;小于180的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为_.(把正确说法的序号都写上)2.将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是_.【解题策略】1.解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象
5、限角等概念.2.角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.【补偿训练】给出下列四个命题:-75是第四象限角;225是第三象限角;475是第二象限角;-315是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选D.-90-750,180225270,360+90 475360+180,-360-315-270.所以这四个命题都是正确的.类型二 终边相同的角的表示及应用(数学运算)【典例】已知-990-630,且 与120角终边相同,求角 的集合.【思路导引】与120角终边相同,可表示为=k360+120,kZ,结合角的范围,可得结论.【解题策略】(
6、1)一般地,可以将所给的角 化成k360+的形式(其中0 360,kZ),其中的 就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360的方式;当所给角是正角时,采用连续减360的方式,直到所得结果达到要求为止.特别提醒:表示终边相同的角时,kZ这一条件不能省略.【跟踪训练】1.与1 650角终边相同的角是()A.30 B.210 C.-30D.-210【解析】选B.与1 650角终边相同的角是=1 650+k360,kZ,当k=-4时,=210,所以与1 650角终边相同的角是210.2.设=1 000,若 是与 终边相同的最小正角,则=_
7、.【解析】因为与 终边相同的角为k360+(kZ),当=1 000时,又是与终边相同的最小正角,则=(-2)360+1 000=280.答案:280 类型三 象限角及其应用(直观想象)角度1 用不等式组表示角的集合 【典例】如图所示.(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【思路导引】(1)根据题目给出的条件分别写出OA,OB表示的角.(2)根据阴影部分写出不等式,注意两个角的先后顺序.【变式探究】将本例中的图形改为如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.角度2 n 或 所在象限的判定 【典例】若 是第二象限角,则2,分别是第几象限的角
8、?【思路导引】根据已知条件,用不等式表示出 的范围,再求出n 或 ,然后判 定所在象限即可.n2n【解题策略】已知 范围,求n 和 所在象限(1)已知 范围,求n 所在象限时,用不等式表示出来,再查找不等式的范围即 可,注意结果可能不只有象限角,还可能有轴线角.(2)已知 范围,求 所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺 序标记一,二,三,四,找到原象限数字即可.nn【发散拓】确定 (nN*)的终边所在的象限的方法:一般地,要确定 所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线,它 们与坐标轴把周角分成4n个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区 域依次标上1,
9、2,3,4,1,2,3,4,标号为几的区域,就是根据 所在第几象限 时,的终边所落在的区域,如此 所在的象限就可以由标号区域所在的象限 直观看出.nnnn【题组训练】1.集合|k180+45 k180+90,kZ中角所表示的范围(阴影部分)是()2.若 是第三象限角,则180-是()A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角 23.已知角 是第一象限角,则角 可能是第_象限角.【解析】根据题意,角是第一象限角,故k360k360+90,kZ,所以k120 k120+30,kZ,所以当k=3n时,n360 n360+30,nZ,位于第一象限;当k=3n
10、+1时,n360+120 n360+150,nZ,位于第二象限;当k=3n+2时,n360+240 n360+270,nZ,位于第三象限;综上所述,角 可能是第一、二、三象限角.答案:一、二、三 3333331.下列说法正确的是()A.终边相同的角一定相等 B.钟表的时针旋转而成的角是负角 C.终边相同的角之间相差360 D.小于90的角都是锐角【解析】选B.终边相同的角不一定相等,可能相隔k360,A错误;钟表的时针是顺时针旋转,故是负角,所以B正确;终边相同的角之间相差360的整数倍,C错误;负角小于90,但不是锐角,D错误.课堂检测素养达标 2.下列是第三象限角的是()A.-110 B.
11、-210 C.80 D.-13【解析】选A.-110=-360+250,所以-110是第三象限角,正确;-210=-360+150,所以-210是第二象限角,不正确;80是第一象限角,不正确;-13=-360+347,所以-13是第四象限角,不正确.3.(教材二次开发:例题改编)在0360的范围内,与-510终边相同的角是()A.330 B.210 C.150D.30【解析】选B.因为-510=-720+210,则在0360的范围内,与-510终边相同的角是210.4.与-2 020角终边相同的最小正角是_.【解析】-2 020=-6360+140,即与-2 020角终边相同的最小正角是140.答案:140 5.已知角 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角 的集合是_.【解析】观察图形可知,角 的集合是|k360+45 k360+150,kZ.答案:|k360+45 k360+150,kZ
