1、安徽省十校联盟2021届高三下学期开学考试理科数学一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合，则的真子集个数为（ ）A. B. C. D. 2. 若纯虚数满足，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 3. “共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如下所示，下列关于该组数据的说法错误的是（ ）A. 极差为B. 众数为C. 中位数为D. 平均数为4. “”是“函数在上单调递增”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充
2、分也不必要条件5. 若，则（ ）A. B. 7C. D. 6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作，垂足为Q，若，则（ ）A. B. C. D. 8. 2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（ ）A. 72种B. 108种C. 144种D. 210种9. 已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为
3、（ ）A. B. 1C. D. 10. 已知定义域为的函数满足：图象关于原点对称；当时，.若，则（ ）A. B. 1C. D. 211. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列四个结论：；在上有两个零点；的图象关于直线对称；在区间上单调递减，其中所有正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 设双曲线的左右焦点分别为，过点的直线l与C的两支分别交于点A，B，若点M满足，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 若实数x，y满足，则的最大值为_.14. 若平面向量满足，且，则与夹角的大
4、小为_.15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且点M满足，则的长为_.16. 在正三棱锥中，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为_.三解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 已知首项为4的数列的前n项和为，且.（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18. 已知多面体如图所示，四边形梯形，平面，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值.19. 某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校年到年所招的学生高考成绩不低于分的人数与对应年份代号的数据如下：年份年
5、份代号不低于分的人数（单位：人）（1）若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该校所招的学生高考成绩不低于分的人数；（2）今有、四位同学报考该校，已知、被录取的概率均为，被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用表示此人中被录取的人数，求的分布列与数学期望.参考公式：，.参考数据：，.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线(且)交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.21. 已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求证：在区间上有唯一极小值点.22. 在平面直角坐标
6、系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线极坐标方程；（2）当时，设直线与曲线相交于，两点，求的取值范围.23. 已知函数.（1）若函数定义域为，求的取值集合；（2）在（1）的条件下，正数，满足，求证：.安徽省十校联盟2021届高三下学期开学考试理科数学（答案版）一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合，则的真子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 若纯虚数满足，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D3. “共享单车
7、，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如下所示，下列关于该组数据的说法错误的是（ ）A. 极差为B. 众数为C. 中位数为D. 平均数为【答案】C4. “”是“函数在上单调递增”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A5. 若，则（ ）A. B. 7C. D. 【答案】A6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D7. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作，垂足为Q，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B8. 2020年是全面建成小康社会的目
8、标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（ ）A. 72种B. 108种C. 144种D. 210种【答案】C9. 已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A10. 已知定义域为的函数满足：图象关于原点对称；当时，.若，则（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B11. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列四个结论：；在
9、上有两个零点；的图象关于直线对称；在区间上单调递减，其中所有正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C12. 设双曲线的左右焦点分别为，过点的直线l与C的两支分别交于点A，B，若点M满足，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 若实数x，y满足，则的最大值为_.【答案】1614. 若平面向量满足，且，则与夹角的大小为_.【答案】15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且点M满足，则的长为_.【答案】216. 在正三棱锥中，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为_.【答案
10、】三解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 已知首项为4的数列的前n项和为，且.（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.18. 已知多面体如图所示，四边形梯形，平面，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.19. 某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校年到年所招的学生高考成绩不低于分的人数与对应年份代号的数据如下：年份年份代号不低于分的人数（单位：人）（1）若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方
11、程，并预测年该校所招的学生高考成绩不低于分的人数；（2）今有、四位同学报考该校，已知、被录取的概率均为，被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用表示此人中被录取的人数，求的分布列与数学期望.参考公式：，.参考数据：，.【答案】（1）回归直线方程为，该高校年所招的学生高考成绩不低于分的人数预测值为人；（2）分布列见解析，数学期望.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线(且)交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）定值，定值为.21. 已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求证：在区间上有唯一极小值点.【答案】（1）；（2）证明见解析.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线极坐标方程；（2）当时，设直线与曲线相交于，两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.23. 已知函数.（1）若函数定义域为，求的取值集合；（2）在（1）的条件下，正数，满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.
