1、第6讲三角函数的图像与性质高考年份全国卷全国卷全国卷2020三角函数的图像与性质T7三角函数的图像与性质T162019三角函数的图像与性质T11三角函数单调性的应用T9三角函数的零点、单调性T122018三角函数求最值T16三角函数单调性的应用T10三角函数的零点问题T151.2019全国卷下列函数中,以2为周期且在区间4,2单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|2.2020全国卷设函数f(x)=cosx+6在-,的图像大致如图M2-6-1所示,则f(x)的最小正周期为()图M2-6-1A.109B.76C.
2、43D.323.2020天津卷已知函数f(x)=sinx+3.给出下列结论:f(x)的最小正周期为2;f2是f(x)的最大值;把函数y=sinx的图像上所有点向左平移3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图像.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.4.2019全国卷设函数f(x)=sinx+5(0),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点,下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点;f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点;f(x)在0,10单调递增;的取值范围是125,2910.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.5.2018全国卷若f(x)=cosx-sinx在-a
3、,a是减函数,则a的最大值是()A.4B.2C.34D.6.2020北京卷若函数f(x)=sin(x+)+cosx的最大值为2,则常数的一个取值为.三角函数的定义、诱导公式与同角三角函数关系1(1)已知单位圆上在第一象限内的一点P沿圆周逆时针旋转3到点Q,若点Q的横坐标为-12,则点P的横坐标为()A.13B.12C.22D.32(2)若sinx=3sinx-2,则cosxcosx+2=()A.310B.-310C.34D.-34(3)如果cos80=k,那么tan100=()A.1-k2kB.-1-k2kC.k1-k2D.-k1-k2【规律提炼】三角函数的定义可以沟通坐标与角之间的关系.利用
4、诱导公式时注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.利用同角三角函数的平方关系求角时注意考虑角的终边所在的象限.测题1.瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并给出以下公式:eix=cosx+isinx,这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,有下列四个结论:ei+1=0;12+32i2019=-1;2cosx=e-ix+eix;2sinx=eix-e-ix.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.2.在平面直角坐标系中,若角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点Psin23,cos23,则cos(+)=.三角函数的图像及应用2(
5、1)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0)个单位长度得到函数g(x)=cos2x的图像,则a的最小值为()A.3B.512C.23D.12测题1.为了得到函数g(x)=sinx的图像,需将函数f(x)=sin6-x的图像()A.向左平移6个单位长度B.向右平移6个单位长度C.向左平移56个单位长度D.向右平移56个单位长度2.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图像如图M2-6-3所示,将此图像分别进行以下变换,那么变换后的图像可以与原图像重合的变换方式有()图M2-6-3绕着x轴上一点旋转180;沿x轴的正方向平移;以x轴为轴作轴对称图形;以x轴的某一条垂线为轴作轴对
6、称图形.A.B.C.D.三角函数的性质与应用3(1)函数y=tan2x+3的图像向右平移3个单位长度后,得到的图像对应的函数解析式为y=g(x),则有下面四个判断:g(x)在512,1112上单调递增;g(x)在-4,4上单调递增;g116=-3;6,0是g(x)的图像的一个对称中心.其中正确的判断有()A.4个B.3个C.2个D.1个(2)已知0,函数f(x)=sinx+4在2,上单调递减,则的取值范围是()A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2(3)2019全国卷关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:f(x)是偶函数;f(x)在区间2,单调递增;f(x)
7、在-,有4个零点;f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.【规律提炼】三角函数的性质主要是单调性、周期性、奇偶性和对称性,要注意以下两点:一是考查三角函数的性质时,首先要将函数化为y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的形式,再对比y=sinx(或y=cosx)的性质,即把x+看成一个整体处理,但是一定要保证0,否则易出错.二是一定要结合图像进行分析.测题1.已知f(x)=cos(x+)0,|0).若关于x的方程f(x)=1在区间0,上有且仅有两个不相等的实根,则的最大整数值为.第6讲三角函数的图像与性质真知真题扫描1.A解析因为cos(-x)=cosx,所以f
8、(x)=cos|x|=cosx,其最小正周期为2,C不正确;f(x)=sin|x|=sinx,x0,-sinx,x0,该函数没有周期性,D不正确;函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为2,但当x4,2时,f(x)=|sin2x|=sin2x单调递减,B不正确;函数f(x)=|cos2x|以2为周期,且在区间4,2上单调递增,满足题意.故选A.2.C解析点-49,0在函数f(x)的图像上,cos-49+6=0,-49+6=-2+2k(kZ),=32-92k(kZ),f(x)的最小正周期T=2|=2|32-92k|(kZ).由图可知109T139,得181332-92k95(kZ),解得-11
9、5k139或2539k1115(kZ),故k=0,则f(x)的最小正周期为43.故选C.3.B解析因为f(x)=sinx+3,所以最小正周期T=2=2,故正确;f2=sin2+3=sin56=121,故不正确;将函数y=sinx的图像上所有点向左平移3个单位长度,得到函数y=sinx+3的图像,故正确.故选B.4.D解析由x0,2,得x+55,2+5.设2+5=t,由题意及函数y=sinx的图像知,t5,6),则125,2910,故f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点,而f(x)在(0,2)可能有2个极小值点,也可能有3个极小值点,故正确,不正确,正确;当x0,10时,x+55,10+5,
10、因为125,2910,所以10+529100+5=491002,故f(x)在0,10单调递增,正确.故选D.5.A解析f(x)=cosx-sinx=2cosxcos4-sinxsin4=2cosx+4,由2kx+4+2k(kZ),得函数f(x)的单调递减区间为2k-4,34+2k(kZ).函数f(x)在-a,a上单调递减,得a的最大值是4.6.2写出2k+2(kZ)中的任一个值都对解析因为函数f(x)=sin(x+)+cosx的最大值为2,所以f(x)=2cosx,所以=2k+2(kZ),所以常数的一个取值为2写出2k+2(kZ)中的任一个值都对.考点考法探究小题1例1(1)B(2)A(3)B
11、解析(1)在平面直角坐标系xOy中,连接OP,OQ,因为单位圆上在第一象限内的一点P沿圆周逆时针旋转3到点Q,点Q的横坐标为-12,所以cosxOQ=-12,即xOQ=23+2k(kZ),所以xOP=3+2k(kZ).设点P的横坐标为x0,则x0=cosxOP=cos3+2k=cos3=12.故选B.(2)因为sinx=3sinx-2=-3cosx,所以tanx=-3,所以cosxcosx+2=-sinxcosx=-sinxcosxsin2x+cos2x=-tanxtan2x+1=310,故选A.(3)cos80=k,sin80=1-cos280=1-k2,tan80=sin80cos80=1
12、-k2k,tan100=tan(180-80)=-tan80=-1-k2k,故选B.【自测题】1.A解析因为ei=cos+isin=-1,所以ei+1=0,故正确.因为eix=cosx+isinx,e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,所以eix+e-ix=2cosx,eix-e-ix=2isinx,故正确,错误.12+32i2019=cos3+isin32019=ei2019=e673i=cos673+isin673=-1,故正确.故选A.2.-32解析Psin23,cos23,得P32,-12,cos=32,cos(+)=-cos=-32.小题2例2(1)D(2
13、)B解析(1)由题可得A=23,f(x)的最小正周期T满足12T=6-(-2)=8,即122=8,=8.f(-2)=23sin8(-2)+=0,-4=-+2k,kZ.|0)个单位长度,得到函数g(x)=sin2x+2a-3=cos2x的图像,则2a-3=2+2k,kZ,a=512+k,kZ,又a0,当k=0时,实数a取得最小值512,故选B.【自测题】1.D解析因为f(x)=sin6-x=-sinx-6=sinx-6+=sinx+56,所以将函数f(x)=sin6-x的图像向右平移56个单位长度可以得到函数g(x)=sinx的图像.故选D.2.D解析f(x)=sinx1+2sinx,f(x+2
14、k)=sin(x+2k)1+2sin(x+2k)=sinx1+2sinx=f(x),kZ,当沿x轴正方向平移2k,kZ个单位长度时,两图像重合,故正确;f2-x=sin(2-x)1+2sin(2-x)=cosx1+2cosx,f2+x=sin(2+x)1+2sin(2+x)=cosx1+2cosx,故f2-x=f2+x,函数图像关于直线x=2对称,故正确;根据图像知不正确.故选D.小题3例3(1)D(2)A(3)C解析(1)g(x)=tan2x-3+3=tan2x-3,当x512,1112时,2x-32,32,函数g(x)在端点处无意义,故错误;当x-4,4时,2x-3-56,6,函数g(x)
15、在2x-3=-2处无意义,故错误;g116=tan2116-3=tan103=tan3=3,故错误;当x=6时,g6=tan26-3=0,故正确.故选D.(2)由2x0,得2+4x+4+4,由题意知,2+4,+42k+2,2k+32,kZ.当k=0时,由2+42,+432,得1254.故选A.(3)因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,正确;当x2,时,f(x)=sinx+sinx=2sinx,函数单调递减,错误;当x-,0时,f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,即当x-,时,f(x)=2sinx,x(
16、0,-2sinx,x-,0,可知函数f(x)的图像在区间-,上与x轴只有3个交点,即函数f(x)在-,上有3个零点,错误;易知当x=2+2n,nN时,f(x)取得最大值,最大值为2,正确.故选C.【自测题】1.C解析因为f(x)的图像向左平移4个单位长度后所得的图像关于点12,0对称,所以f(x)的图像关于点3,0对称,又f(x)的图像关于直线x=524对称,设f(x)的最小正周期为T,则3-524=(2k+1)T4(kN),即8=2k+142(kN),所以=8k+4(kN),取k=0,得的最小值为4,故选C.2.C解析f(x)=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x,函数f(x)的最小正周期T=,最大值为1.f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称.f(x)=cos2x在4,2上单调递减,f(x)=-cos2x在4,2上单调递增.故选C.3.4解析当x0,时,x+66,+6.关于x的方程f(x)=1在区间0,上有且仅有两个不相等的实根,结合正弦函数的图像,得52+692,解得73133,满足条件的的最大整数值为4.
