1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养 1.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定(易混点)通过平面向量共线的坐标表示及应用，培养学生、逻辑推理和数学运算素养.平面向量共线的坐标表示(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，a，b 共线，当且仅当存在实数，使 ab.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b(b0)共线思考：两向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x
2、1x2y1y2吗？提示 不一定，x2，y2 有一者为零时，比例式没有意义，只有 x2y20 时，才能使用1已知 A(2，1)，B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量 a 是()A(2,1)B(6，3)C(1,2)D(4，8)D AB(1,2)，根据平行条件知选 D.2下列各对向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(3，2)Ba(2,3)，b(4，6)Ca(2，1)，b(1，2)Da(1，2)，b(2，2)D A，B，C 中各对向量都不共线，D 中 b 2a，两个向量共线3已知 a(3,2)，b(6，y)，且 ab，则 y_.4 ab，63y2，解得 y4.4若 A(3，6)，B(5,2)，
3、C(6，y)三点共线，则 y_.9 AB(8,8)，AC(3，y6)，A，B，C 三点共线，即ABAC，8(y6)830，解得 y9.向量共线的判定与证明【例 1】(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)(2)已知 A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD 平行吗？直线 AB平行于直线 CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断(2)判断向量AB，CD 平行 无相关点 ABCD (1)D A 中，26340，B 中 33220，C 中 114(2)
4、70，D 中(3)(4)260.故选 D.(2)解 AB(1(1)，3(1)(2,4)，CD(21,75)(1,2)又 22410，ABCD.又AC(2,6)，AB(2,4)，24260，A，B，C 不共线，AB 与 CD 不重合，ABCD.向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成 x1y1x2y20 或 x1x2y1y20 都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减跟进训练1已知 A(1，3)，B8，12，C(9,1)，求证：A，B，C 三点共线证明 AB81，123 7，72，AC(91,13)(8,4)，747280，ABAC，且AB，AC有公共点
5、 A，A，B，C 三点共线.已知平面向量共线求参数【例 2】已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用 b 与非零向量 a 共线等价于 ba(0，b 与 a 同向；0，b 与 a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求 k，再利用 ba 判定同向还是反向 解 法一：(共线向量定理法)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一实数，使 kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以k310，2k24，解得 k13.
6、当 k13时，kab 与 a3b 平行，这时 kab13ab13(a3b)，因为 130，所以 kab 与 a3b 反向 法二：(坐标法)由题知 kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为 kab 与 a3b 平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得 k13.这时 kab133，232 13(a3b)，所以当 k13时，kab 与 a3b 平行，并且反向利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理 ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式 x1y2x2y10 直接求解跟进训练2已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)，若 c(2ab)，则 _.
7、12 由题可得 2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即 12.故答案为12.向量共线的综合应用【例 3】(1)已知向量 a(cos，2)，b(sin，1)，且 ab，则 2sin cos 等于()A3 B3C45D.45(2)如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标思路点拨：(1)先由 ab 推出 sin 与 cos 的关系，求 tan，再用“1”的代换求 2sin cos.(2)要求点 P 的坐标，只需求出向量OP 的坐标，由OP 与OB 共线得到OP OB，利用AP与AC共线的坐标表示求出 即可；也可设 P(x，y)
8、，由OP OB 及APAC，列出关于 x，y 的方程组求解(1)C 因为 ab，所以 cos 1(2)sin 0，即 cos 2sin，tan 12，所以 2sin cos 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 212122145.(2)解 法一：(定理法)由 O，P，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44,4)，ACOC OA(2,6)由AP与AC共线得(44)64(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3,3)，所以 P 点的坐标为(3,3)法二：(坐标法)设 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4,4)，且OP 与OB 共线，所以x4y
9、4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2,6)，且AP与AC 共线，则得(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以 P 点的坐标为(3,3)应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤跟进训练3.如图所示，已知AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC 14OA，OD 12OB，AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标解 因为OC 14OA 14(0,5)0，54，所以 C0，54.因为OD 12OB 12(4,3)2，32，所以 D2，32.设 M(x，y)，则AM(x，y5)，AD 20，325 2，72.因为AM AD，所以72x2(y5)0，即 7x4y20.又CM
10、x，y54，CB4，74，因为CM CB，所以74x4y54 0，即 7x16y20.联立解得 x127，y2，故点 M 的坐标为127，2.共线向量与线段分点点坐标的计算探究问题1设 P1，P2 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段 P1P2 的中点 P 的坐标？提示：如图所示，P 为 P1P2 的中点，P1P PP2，OP OP1 OP2 OP，OP 12(OP1 OP2)x1x22，y1y22，线段 P1P2 的中点坐标是x1x22，y1y22.2设 P1，P2 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，则 P 点坐标是什么？
11、提示：点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，分两种情况：当P1P 13P1P2 时，OP OP1 P1P OP1 13P1P2 OP1 13(OP2 OP1)23OP113OP2 2x1x23，2y1y23；当P1P 23P1P2 时，OP OP1 P1P OP1 23P1P2 OP1 23(OP2 OP1)13OP1 23OP2 x12x23，y12y23.3当P1P PP2 时，点 P 的坐标是什么？提示：OP OP1 P1P OP1 PP2 OP1(OP2 OP)OP1 OP2 OP，OP OP1 OP21 11(x1，y1)1(x2，y2)11x1，11y1 1x2，1y2 x1x
12、21，y1y21，Px1x21，y1y21.【例 4】已知点 A(3，4)与点 B(1,2)，点 P 在直线 AB 上，且|AP|2|PB|，求点 P 的坐标思路点拨：点 P 在直线 AB 上，包括点 P 在线段 AB 内和在线段 AB 的延长线上，因此应分类讨论 解 设 P 点坐标为(x，y)，|AP|2|PB|.当 P 在线段 AB 上时，AP2PB，(x3，y4)2(1x,2y)，x322x，y442y，解得x13，y0，P 点坐标为13，0.当 P 在线段 AB 延长线上时，AP2PB，(x3，y4)2(1x,2y)，x322x，y442y，解得x5，y8，P 点坐标为(5,8)综上所
13、述，点 P 的坐标为13，0 或(5,8)1若将本例条件“|AP|2|PB|”改为“AP3PB”其他条件不变，求点 P 的坐标解 因为AP3PB，所以(x3，y4)3(1x,2y)，所以x333x，y463y，解得x0，y12，所以点 P 的坐标为0，12.2若将本例条件改为“经过点 P(2,3)的直线分别交 x 轴、y 轴于点 A，B，且|AB|3|AP|”，求点 A，B 的坐标解 由题设知，A，B，P 三点共线，且|AB|3|AP|，设 A(x,0)，B(0，y)，点 P 在 A，B 之间，则有AB3AP，(x，y)3(2x,3)，解得 x3，y9，点 A，B 的坐标分别为(3,0)，(0
14、,9)点 P 不在 A，B 之间，则有AB3AP，同理，可求得点 A，B 的坐标分别为32，0，(0，9)综上，点 A，B 的坐标分别为(3,0)，(0,9)或32，0，(0，9)求点的坐标时注意的问题 1设 P1x1，y1，P2x2，y2.若点 P 是 P1P2的中点时，则 Px，y为 2求线段 P1P2 上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论.3若 01 时，P 在线段 P1P2 上；1 时，P 与 P2 重合；1 时，点 P 在线段 P1P2 延长线上；,0 时，点 P 在线段 P1P2 反向延长线上.1两个向量共线条件的
15、表示方法已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当 b0 时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当 x2y20 时，x1x2y1y2，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据1下列说法不正确的是()A若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且
16、a 与 b 共线，则x1x2y1y2.B若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 x1y2x2y1，则 a 与 b 不共线C若 A，B，C 三点共线，则向量AB，BC，CA都是共线向量D若 A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则 y9.A A 中，x2 或 y2 为零时，比例式无意义，B、C 很明显都正确；D 中ABBC，由AB(8,8)，BC(11，y2)，则8(y2)8110，解得 y9.D 正确2已知两点 A(2，1)，B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量 a 可以是()A(1，2)B(9,3)C(2,4)D(4，8)D 由题意，得AB(1,2)，所以 aAB(，2
17、)(其中 0)符合条件的只有 D 项，故选 D.3已知平面向量 a(1,2)，b(2，m)，且 ab，则 2a3b 等于_(4，8)ab，1m(2)20，m4，a(1,2)，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)4已知直角坐标平面上四点 A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形证明 由已知得，AB(4,3)(1,0)(3,3)，CD(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，AB与CD 共线 AD(1,2)，BC(2,4)(4,3)(2,1)，(1)12(2)0，AD 与BC不共线 四边形 ABCD 是梯形 BC(2,1)，AD(1,2)，|BC|5|AD|，即 BCAD.故四边形 ABCD 是等腰梯形
