1、 微点 1 数列与新信息的综合 含“新信息”背景的数列问题,常常有图表迁移、新运算、新概念、新情境等.此类问题有以下几个难点:一是对于新的概念与规则,学生在处理时会有一个熟悉的过程,不易抓住信息的关键部分并用于解题.二是学生不易发现每一问所指向的知识点,传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,例如“求通项”“求和”,但因为新信息问题与新信息相关,所以要运用的知识隐藏得较深,不易让学生找到解题的方向.三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系,即前面问题的处理是为了给最后一问做好铺垫.1(1)2020全国卷0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a1a2an满足 ai0,1
2、(i=1,2,),且存在正整数 m,使得 ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为 0-1 周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数 m 为这个序列的周期.对于周期为 m 的 0-1 序列 a1a2an,C(k)=1=1aiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为 5 的 0-1 序列中,满足 C(k)15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010 B.11011 C.10001 D.11001(2)图 W1-1 是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从 1 月 21 日至 2 月 24
3、日的新冠肺炎每日新增确诊病例数按日期顺序排列构成数列an,an的前 n 项和为 Sn,则下列说法中正确的是()图 W1-1 A.数列an是递增数列 B.数列Sn是递增数列 C.数列an的最大项是 a11 D.数列Sn的最大项是 S11 微点 2 数列与函数的综合 数列与函数的综合问题的解题策略:(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题;(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外要注意数学思想方法的应用,如函数与方程思想等.2(1)若数列an为等差数列,bn为等比数列,且满足 a1+a2020=27,b1b
4、2020=2,函数 f(x)满足f(x+2)=-f(x)且 f(x)=ex,x0,2,则 f1010+10111+10101011=()A.e B.e2 C.e-1 D.e9(2)已知数列an满足对任意 nN*,an 0,2,且 a1=3,f(an+1)=(),其中 f(x)=tanx,则使得sina1sina2sinak0,rn0,n=1,2,)逐个外切,且均与曲线 y=x2 相切,若 r1=1,则a1=,rn=.图 W1-2 微点 4 数列与平面向量的综合 4(1)如图 W1-3,已知点 E是平行四边形的边AB的中点,Fn(nN*)为边BC上的一列点,连接AFn交BD于Gn,点Gn满足=a
5、n+1-2(2an+3),其中数列an是首项为1的正项数列,Sn是数列an的前 n 项和,则下列结论正确的是()图 W1-3 A.a3=15 B.数列an+3是等比数列 C.an=4n-3 D.Sn=2n+1-n-2(2)设 Sn,Tn 分别为等差数列an,bn的前 n 项和,且=3+24+5.设点 A 是直线 BC 外一点,点 P 是直线 BC上一点,且=1+43 +,则实数 的值为()A.2825 B.-325 C.328 D.-1825 1.已知函数 f(x)=1-4,0,1+log3,0,在等差数列an中,a7=7,a9=11,则 f(a8)=()A.1 B.2 C.3 D.4 2.若
6、数列an的首项 a1=2,且点(an,an+1)在直线 x-y=2 上,则数列an的前 n 项和 Sn 等于()A.3n-1 B.-n2+3n C.3n+1 D.n2-3n 3.在数列an中,a1=1,若=(an+1,-1),=(1,an+2),且 ,Sn 为数列an的前 n 项和,令 bn=1+,若数列bn的前 n 项和为 Tn,则 Tn=()A.+1 B.+1+2 C.+2+3 D.+3+4 4.设函数 f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对于任意正数 x,y 均有 f(xy)=f(x)+f(y),已知 f(2)=1,若一个各项均为正数的数列an满足 f(Sn)=f(an)+f(an
7、+1)-1(nN*),其中 Sn 是数列an的前 n 项和,令bn=1+1,数列bn的前 n 项和为 Tn,则 T2020 的值为()A.2020 B.12020 C.20192020 D.20202021 5.若数列an满足:存在正整数 T,对于任意正整数 n 都有 an+T=an 成立,则称数列an为周期数列,周期为T.已知数列an满足 a1=m(m0),an+1=-1,1,1,0 1,使得an是周期为 T 的数列 D.存在 mQ 且 m2,使得数列an是周期数列 6.对于数列an,令Pn=1(a1+2a2+2n-1an)(nN*),则称Pn为an的“伴随数列”.已知数列an的“伴随数列”
8、Pn的通项公式为 Pn=2n+1(nN*),记数列an-kn的前 n 项和为 Sn,若 SnS4 对任意的正整数 n恒成立,则实数 k 的取值范围为 .7.我们把一系列向量 ai(i=1,2,n)按次序排列成一列,称为向量列,记作an.已知向量列an满足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=12(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n2),设 n 表示向量 an-1 与 an 的夹角,若 bn=2 n,对于任意正整数 n,不等式 1+1+1+2+1212loga(1-2a)恒成立,则实数 a 的取值范围是 .8.牛顿迭代法(Newtonsmethod)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newt
9、on-Raphsonmethod),是牛顿在 17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图 W1-4,设 r 是 f(x)=0 的根,选取 x0 作为 r 的初始近似值,过点(x0,f(x0)作曲线 y=f(x)的切线 l,l 与 x 轴的交点的横坐标 x1=x0-(0)(0)(f(x0)0),称 x1 是 r 的一次近似值,过点(x1,f(x1)作曲线 y=f(x)的切线,则该切线与 x 轴的交点的横坐标为 x2=x1-(1)(1)(f(x1)0),称 x2是 r 的二次近似值.重复以上过程,得到 r 的近似值序列.请你写出 r 的 n+1 次近似值与 r 的 n 次近似值的关系式 .若 f(
10、x)=x2-2,取 x0=1 作为 r 的初始近似值,试求 f(x)=0 的一个根2的三次近似值 (请用分数作答).图 W1-4 微专题一 数列与其他知识的综合 微点 1 例 1(1)C(2)C 解析(1)对于 A 选项,C(1)=15=15aiai+1=15(1+0+0+0+0)=15,C(2)=15=15aiai+2=15(0+1+0+1+0)=2515,不满足题意;对于 B 选项,C(1)=15=15aiai+1=15(1+0+0+1+1)=3515,不满足题意;对于 C 选项,C(1)=15=15aiai+1=15(0+0+0+0+1)=15,C(2)=15=15aiai+2=15(0
11、+0+0+0+0)=0,C(3)=15=15aiai+3=15(0+0+0+0+0)=0,C(4)=15=15aiai+4=15(1+0+0+0+0)=15,满足题意;对于 D 选项,C(1)=15=15aiai+1=15(1+0+0+0+1)=2515,不满足题意.故选 C.(2)因为 1 月 28 日的新增确诊病例数小于 1 月 27 日的新增确诊病例数,即 a7a8,所以an不是递增数列,所以选项 A 错误;因为 2 月 23 日新增确诊病例数为 0,所以 S33=S34,所以数列Sn不是递增数列,所以选项 B 错误;因为 1 月 31 日新增确诊病例数最多,从 1 月 21 日算起,1
12、 月 31 日是第 11 天,所以数列an的最大项是 a11,所以选项 C 正确;数列Sn的最大项是 S35,所以选项 D 错误.故选 C.微点 2 例 2(1)A(2)298 解析(1)因为数列an为等差数列,且 a1+a2020=27,所以 a1010+a1011=27.因为bn为等比数列,且 b1b2020=2,所以 b1010b1011=2,所以 1010+10111+10101011=273=9.因为 f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数 f(x)的周期为 4,又 f(x)=ex,x0,2,所以 f(9)=f(24+1)=f(1)=e,即 f
13、1010+10111+10101011=e.故选 A.(2)f(x)=tanx=sincos,f(x)=cos2+sin2cos2=1+tan2x.f(an+1)=(),tanan+1=1+tan2,即 tan2an+1-tan2an=1,数列tan2an是首项为 3,公差为 1 的等差数列,tanan=+2.an 0,2,sinan=+2+3,sina1sina2sinak=34 45 56 +2+3=3+3,由 3+3297,使得 sina1sina2sinak0,an-an-1-1=0,即 an-an-1=1,故数列an是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,an=1+1(n-1)=n,
14、nN*,bn=1+1=1(+1),T2020=b1+b2+b2020=112+123+120202021=1-12+12-13+12020-12021=1-12021=20202021.故选 D.5.D 解析对于 A,若 a3=4,因为 an+1=-1,1,1,0 1 时,a2-1=a3=4,解得 a2=5,当 a11时,a1-1=a2=5,解得 a1=6,当 0a11 时,11=a2=5,解得 a1=15;当 01 时,a1-1=a2=14,解得 a1=54,当 0a11 时,11=a2=14,解得 a1=4,不合题意,舍去.故 m 可以取 3 个不同的值,故 A 中结论正确.对于 B,若
15、m=2,则 a2=a1-1=2-1,a3=12=2+1,a4=a3-1=2,所以an+3=an,则数列an是周期为 3 的数列,故 B 中结论正确.对于 C,D,先考虑数列an的周期性.如果a1=k+a,kN*,01,故 C 中结论正确.对于 D,如果存在这样的 m,那么由前面的分析知必有 m=k+a,kN*,0a1,且 a=-+2+42Q,于是有2+4Q,这是不可能的,故 D 中结论错误.6.125,52 解析由题意得 a1+2a2+2n-1an=n2n+1,所以 a1=122=4,a1+2a2+2n-2an-1=(n-1)2n(n2),由-得 2n-1an=n2n+1-(n-1)2n(n2
16、),所以 an=2n+2(n2),当 n=1 时也满足上式,所以 an=2n+2(nN*).因此数列an-kn的前 n 项和Sn=12n(4-k+2n+2-kn)=12n(6-k+2n-kn),因为 SnS4 对任意正整数 n 恒成立,所以2-0,所以 f(n)单调递增,所以 f(n)min=f(1)=1,则112loga(1-2a).因为 a0 且 a1,1-2a0,所以 0aa2,解得-1-2a-1+2,故实数 a的取值范围为(0,2-1).8.xn+1=xn-()()(f(xn)0)577408 解析由题设可得 x1=x0-(0)(0)(f(x0)0),x2=x1-(1)(1)(f(x1)0),x3=x2-(2)(2)(f(x2)0),依次类推,则可得 xn+1=xn-()(),其中 f(xn)0.因为 f(x)=x2-2,所以xn+1=xn-2-22=2+22(xn0),因为 x0=1,故 x1=32,x2=1712,x3=577408.
