1、第八章解析几何(时间：120分钟满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2021吉林长春实验中学期末)设ABC的一个顶点是A(3，1)，B，C的平分线方程分别为x0，yx，则直线BC的方程为(B)Ay2x5By2x5Cy3x5Dyx解析A关于yx的对称点为A1(1，3)，A关于x0的对称点为A2(3,1)，又A1、A2都在BC上，kBC2.BC的方程为y32(x1)，即y2x5.2(2021云南昆明一中摸底)抛物线y24x的焦点到双曲线x2y21的渐近线的距离为(B)A.BCD2解析因为抛物线的焦点为(1,0)，双
2、曲线的渐近线为xy0，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d，故选B.3(2021广西钦州一中月考)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|(C)A.BC3D2解析如图所示：过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.故选C.4(2021四川南充适应性考试)过圆O：x2y24外一点M(4，1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为(A)A4xy40B4xy40C4xy40D4xy40解析设切点为N(x0，y0)，则切线方程为xx0yy04，又切线过点(4，1)，4
3、x0y04，即切点在直线4xy4上，过两切点的直线方程为4xy40.5(2021陕西百校联盟联考)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2且与椭圆C交于M，N两点，且，若|OA|AF2|，则直线l的斜率为(B)A1BCD解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减可得0，则kOAkMN；因为|OA|AF2|，故kOAkMN，解得是kMN，故直线l的斜率为.6(2019高考天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(D)A.BC2D解析抛物线y24x的准
4、线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx，则有A，B，|AB|，4，b2a，e.故选D.7(2021黑龙江哈尔滨模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点与圆M：(x2)2y25的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为(A)A2BCD3解析由已知，c2，渐近线方程为bxay0，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，所以圆心M到渐近线的距离为b，故a1，所以离心率为e2.故选A.8(2021湖南省六校联考)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率
5、为e2，则的最小值为(C)A.B3C6D解析设椭圆长轴2a1，双曲线实轴2a2，由题意可知：|F1F2|F2P|2c，又|F1P|F2P|2a1，|F1P|F2P|2a2，|F1P|2c2a1，|F1P|2c2a2，两式相减，可得：a1a22c，4426，当且仅当时取等号，的最小值为6，故选C.二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9(2021山东滨州期末)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为1的是(ABC)A离心率为B
6、双曲线过点C渐近线方程为3x4y0D实轴长为4解析c5，由e知a4，b2c2a29，A正确；双曲线过点P，2a|PF1|PF2|8，a4，B正确；由渐近线方程为3x4y0知，又c2a2b225，a4，b3，C正确；若2a4，则a2，从而b2c2a221，D错，故选ABC.10. (2021广东实验中学阶段测试)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫
7、过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是(ABD)A卫星向径的取值范围是ac，acB卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为ac，最大值为ac，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即1越小，则e越大，椭圆越扁，故C不正确；因为运行速度是变化的，向径是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小
8、，在远地点时向径越大，卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选ABD.11(2021山东质检)已知双曲线C：1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于两点A，B，则(BD)A若A，B同在双曲线的右支，则l的斜率大于B若A在双曲线的右支，则|FA|最短长度为2C|AB|的最短长度为D满足|AB|11的直线有4条解析双曲线C的渐近线方程为yx，若A、B同在双曲线的右支，则kl或kl0)的焦点，若直线l与圆(x2)2y24相切，则p 12 .解析斜率为的直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，直线
9、l的方程为y，即xy0，直线l与圆M：(x2)2y24相切，圆心为(2,0)，半径为2，2，解得p12或p4(舍去)故答案为：12.14(2021山西八校联考改编)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，且3，ABF290，则C的离心率是.解析如图，不妨设|F1B|1，则|AB|4，|F2B|2a1，|F2A|2a3，在RtABF2中，由勾股定理得16(2a1)2(2a3)2，解得a1.在RtF1BF2中，|F1B|1，|F2B|2a13，|F1F2|2c，194c2，c，e.15(2020安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C：y2
10、2px(p0)的焦点为F，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线，点P在准线l上，若，则.解析分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为M1，N1，则|MM1|MF|，|NN1|NF|，设|NF|m，则|MF|2m，从而|PN|3m，则mp，.16(2021山东日照联考)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1(m0，n0)若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为1；双曲线N的离心率为 2 .解析由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为cc，再根据椭圆定义得cc2a，所以椭圆M的离心率为1.双曲线N的渐近线方程为yx，由题意得双曲线N
11、的一条渐近线的倾斜角为，tan23，e24，e2.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2021江苏徐州学情调研)在离心率为，且经过点(3,4)；离心率为，且焦距为2.这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由问题：已知曲线C：mx2ny21(m，n0)的焦点在x轴上， ，是否存在过点P(1,1)的直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点？注：若选择条件和条件分别解答，按第一个解答计算解析选条件：由题设得曲线C为焦点在x轴上的双曲线，设m，n(a0
12、，b0)，所以C的方程为1(a0，b0)，由题设得，解得a21，b22，所以C的方程为x21，1当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与曲线C有且仅有一个交点(1,0)，不符合题意；2当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y1k(x1)，即yk(x1)1，入x21得(2k2)x22k(k1)x(k22k3)0(*)，若2k20，即k时，方程(*)有且仅有一解，不符合题意；若2k20，即k时，其判别式2k(k1)24(k22)(k22k3)8(2k3)0，则k，所以方程(*)有两个不同实数解时，k且k，于是x1x22(1)2，解得k2，与k且k矛盾！所以
13、，不存在直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点选条件：由题设得曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设m，n(ab0)，所以C的方程为1(ab0)，由题设得，解得a24，b23，所以C的方程为1，1当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，代入1得y，P(1,1)不是线段AB的中点，不符合题意；2当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y1k(x1)，即yk(x1)1，代入1得(34k2)x28k(k1)x4(k22k2)0，其判别式8k(k1)24(34k2)4(k22k2)16(5k26k6)0，于是x1x22(1)2，解得k，故y(x1)1x，即3
14、x4y70，所以存在直线l：3x4y70，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点18(本小题满分12分)(2021安徽蚌埠质检)已知抛物线C：y22px(p0)，过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于P，Q两点，|PQ|4.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线l的方程；(2)过点F的直线与抛物线C交于不同的两点A，B，直线OA与准线l交于点M.连接MF，过点F作MF的垂线与准线l交于点N.求证：O，B，N三点共线(O为坐标原点)解析(1)|PQ|2p4，则p2，故抛物线C的方程为y24x，其焦点F坐标为(1,0)，准线l方程为x1.(2)设直线AB：xty1，联立，
15、得y24ty40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，直线OA：yx，由y4x1得yx，故M.直线MF的斜率kMF，直线FN的斜率kFN.直线FN：y(x1)，则N(1，y1)，直线ON的斜率kONy1，直线OB的斜率kOB，由y4x2得kOB，则kOBkON(y1)0.O，B，N三点共线19(本小题满分12分)(2019天津高考卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求
16、直线PB的斜率解析(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.20(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|
17、2，F1AF260，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点(1)求椭圆C的方程；(2)若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M(m,0)，使得MNPQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由解析(1)由e得a2c，|AF1|2，|AF2|2a2，由余弦定理得，|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos 60|F1F2|2，解得c1，a2，b2a2c23，所以椭圆C的方程为1.(2)存在这样的点M.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，由F2(1,0)，设直线PQ的方程为yk(x1)，由得(4k23)x28k2x4k2120，由根与系数的关系得
18、x1x2，故x0，又点N在直线PQ上，所以y0，所以N.因为MNPQ，所以kMN，整理得m，所以存在点M(m,0)，使得MNPQ，m的取值范围为.21(本小题满分12分)(2021浙江金色联盟百校联考)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点F到抛物线准线的距离为2，若椭圆1(ab0)的右焦点也为F，离心率为.(1)求抛物线方程和椭圆方程；(2)若不经过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且3(O为坐标原点)，直线l与椭圆交于C，D两点，求CDF面积的最大值解析(1)由已知得，p2，F(1,0)，c1，e，a2，b2a2c23，所以抛物线方程为y24x，椭圆方程为1.(2)设直线l方程为：myx
19、n，由消去x得，y24my4n0，由(4m)244n16m216n0即m2n0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为x1x2y1y2y1y24nn24n3，所以n3或n1(舍去)，所以直线l方程为：myx3.由消去x得，(3m24)y218my150.设C(xC，yC)，D(xD，yD)，则所以SCDF|EF|yCyD|2|yCyD|yCyD|.令t(t0)，则m2，所以S(t)4，当且仅当t3时，即m时，取最大值.22(本小题满分12分)(2021云南玉溪质检)如图，在平面直角坐标系中，已知点F(2，0)，直线l：x4，过动点P作PHl于点H，HPF的平分线交x轴于点M，且|PH|M
20、F|，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点N(0,2)作两条直线，分别交曲线C于A，B两点(异于N点)当直线NA，NB的斜率之和为2时，直线AB是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由解析(1)设P(x，y)，由已知PHFM，HPMFMP，HPMFPM，FMPFPM，|MF|PF|，即，化简得1，曲线C的方程为1(y0)(2)当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxm(k0，m2)，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(12k2)x24kmx2m280，由已知0，x1x2，x1x2，由已知kNAkNB2，得2，整理得2(k1)x1x2(m2)(x1x2)0，2(k1)(m2)0，整理得(m2)(4k2m4)0.m2，m2k2，直线AB的方程为ykx2k2，即y2k(x2)直线AB过定点(2，2)当直线AB的斜率不存在时，设其方程为xn，且设A(n，y1)，B(n，y2)，其中y1y2.由已知kNAkNB2，得2，n2，直线AB的方程为x2，此时直线AB也过定点(2，2)综上所述，直线AB恒过定点(2，2)
