数学奥林匹克高中训练题（201）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设，集合，。当只有一个元素时，= 。2.设的三边长，且则= 。3.设s为方程的非实数根，则= 。4.定义异面棱长相等的四面体为等腰四面体。设等腰四面体DBMN的外接球半径为R，的外接圆半径为r，已知,则的取值范围是 。5.设且，则的取值范围是 。6.已知抛物线上两点切线互相垂直，则切线交点的轨迹方程为 。7.设正整数数列单调递增，满足，则= 。8.对集合的元子集，满足的任意两个元素（可以相同）之和均不为3的整数次幂，则的最大值为 。二、解答题（共56分）9.（16分）证明：10.（20分）设A、B、P为椭圆上三点，满足,其中，。（1）求线段AB中点的轨迹C的方程（2）过曲线C上任一点Q作曲线C的切线，与椭圆交于E、F两点，证明：QE=QF.11. （20分）设有个互异的正偶数与个互异的正奇数之和为2015，求的最大值。加试一、（40分）如图1，设D为的边BC上任意一点，EF为的内切圆的内切圆的外公切线，EF与AD交于点K，的内切圆，与AB切于点N，证明：二、（40分）设，证明：三、（50分）设为互不相等的正整数，满足下列三式：证明：满足题设条件的方程有无穷多组正整数解。四、（50分）设为正整数，记平面点集。问：平面内最少要有多少条直线，它们的并集才能包含S，但不含点（0，0）？
