1、第2课时双曲线的几何性质及应用内容标准学科素养1.掌握利用双曲线的定义解决有关问题的方法2.理解直线与双曲线的位置关系及其判断方法.利用直观想象提高数学运算及逻辑推理授课提示：对应学生用书第39页基础认识知识点直线与双曲线的位置关系直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？提示：不能设直线l：ykxm(m0)，双曲线C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与双曲线C的渐近线_，直线与双曲线_提示：平行相交于一点(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk
2、)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线_，此时称直线与双曲线_；0直线与双曲线_，此时称直线与双曲线_；0，b0)，两方程联立消去y，得mx2nxq0.位置关系公共点个数判定方法相交2个或1个m0或相切1个m0且0相离0个m0且0(2)联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程不一定是一元二次方程，也可能是一次方程，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行(3)直线与双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，也可能相交，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行自我检测1已知双曲线的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，P是其上的一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|2，则该双曲线
3、的方程是()A.1B.1C.y21 Dx21答案：C2过双曲线1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为_答案：授课提示：对应学生用书第39页探究一直线与双曲线的位置关系阅读教材P60例6如图，过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.题型：直线与双曲线相交问题方法步骤：(1)写出直线方程与双曲线方程联立方程组消去y得到关于x的一个一元二次方程(2)求出交点A，B的坐标(3)由两点间的距离公式得出|AB|的值例1已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
4、(3)直线l与双曲线没有公共点解析联立消去y，得(1k2)x22k2xk240.(*)当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)(1)由得k且k1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点(2)由得k，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点故当k或1时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3)由得k，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点方法技巧(1)解决直线与双曲线的公
5、共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论跟踪探究1.已知直线l：xy1与双曲线C：y21(a0)(1)若a，求l与C相交所得的弦长；(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围解析：(1)当a时，双曲线C的方程为4x2y21，联立消去y，得3x22x20.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，则|AB|.(2)将yx1代入双曲线y21，得(1a2)x22a2x2a20，解
6、得0a且e.即离心率e的取值范围是(，)探究二弦的中点问题教材P62B组4题已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以上两式相减得xx0，即(x1x2)(x1x2)0，即2(x1x2)0，即y1y22(x1x2)，kAB2，直线l的方程为y12(x1)，即y2x1.由得2x24x30，162480，b0)的一个焦点为F(，0)，实轴长为2，经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点(1)求双曲线C的方程；(2)求直线l的方程解析(1)由已知，得2a2，c，所以a1，
7、b2c2a22.所以双曲线C的方程为x21.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx12k.把ykx12k代入双曲线C的方程x21，得(2k2)x22k(12k)x(12k)220，由题意可知2k20，所以xM2，解得k4.当k4时，方程可化为14x256x510.此时56256512800，方程有两个不等的实数解所以直线l的方程为y4x7.方法技巧与双曲线有关的弦长、弦中点问题的解题技巧(1)利用弦长公式|AB|xAxB|，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式(2)涉及弦长的
8、中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系(3)在双曲线1(a0，b0)中，若直线l与双曲线相交于M，N两点，点P(x0，y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN.跟踪探究2.设A，B为双曲线x21上的两点，线段AB的中点为M(1,2)求：(1)直线AB的方程；(2)OAB的面积(O为坐标原点)解析：(1)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y2k(x1)，即ykx2k.由消去y，整理得(2k2)x22k(2k)xk24k60.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，
9、解得k1.当k1时，满足0，直线AB的方程为yx1.(2)由(1)得x1x22，x1x23，|AB|4.又O到直线AB的距离d，SAOB|AB|d42.探究三与双曲线有关的轨迹问题阅读教材P59例5点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l：x的距离的比是常数，求点M的轨迹题型：求轨迹问题方法步骤：(1)确定动点M的几何性质.(其中d是M到l的距离)(2)将M的几何性质坐标化，并化简整理，得到M的轨迹方程，从而得出M的轨迹是双曲线例3若动圆P经过定点A(3,0)，且与定圆B：(x3)2y216外切，试求动圆圆心P的轨迹解析设动圆圆心P(x，y)，半径为r.则依题意有|PA|r，|PB
10、|r4，故|PB|PA|4.即动圆圆心P到两个定点B(3,0)，A(3,0)的距离之差等于常数4，且40，b0)，则c3,2a4，b25，所以动圆圆心P的轨迹方程为1(x2)动圆圆心P的轨迹是双曲线1的右支方法技巧解决轨迹问题时，如果在题目的条件中，出现了定点(m,0)，(m,0)或(0，m)，(0，m)(当然也可以是某定圆的圆心)时，就要重点考察动点所满足的条件，特别是考察动点到两个定点的距离之差(绝对值)是不是一个定值，如果是一个定值，并且这个定值小于两个定点之间的距离，那么动点的轨迹就是双曲线跟踪探究3.动点P与点F1(0,5)与点F2(0，5)满足|PF1|PF2|6，则点P的轨迹方程
11、为()A.1B1C1(y3) D1(y3)解析：由双曲线的定义知P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的下支，故c5，a3，b4.P的轨迹方程为1.故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第41页课后小结1直线与双曲线的位置关系的判定方法直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况，其判定方法通常也是用来解决设直线方程为AxByC0(A，B不同时为0)，双曲线方程为1(a0，b0)，两方程联立消去y得mx2nxq0(*)形式的方程(1)若m0，方程(*)为关于x的一元二次方程当0时，方程有两解，则直线与双曲线相交于两点；当0时，方程有一解，则直线与双曲线相切；当0.得出a的取值范围，思维不严谨致误，应该先考虑二次项系数不为0，其次再考虑0.考查直观想象和逻辑推理的学科素养自我纠正由得(3a2)x22ax20.直线与双曲线相交于两点，a且a.a的取值范围是a且a.答案：a且a
